Спросить
Войти
УДК 514.742.4
И.П. Попов
ПРИМЕНЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ГРАДИЕНТУ
Предложен способ восстановления функции по ее градиенту, в основу которого положено суммирование неопределенных интегралов от частных производных функции и исключение лишних слагаемых.
THE APPLICATION OF THE INDEFINITE INTEGRAL TO RECONSTRUCTING A FUNCTION
FROM ITS GRADIENT
The paper presents a method of reconstructing a function from its gradient. The method is based on the summation of indefinite integrals from partial derivatives of a function and elimination of redundant summands.
Key -words: gradient,function, partial derivative, integral, -variable.
Актуальность задачи определения функции по ее градиенту достаточно показать на примере пространственного распределения сил, которое является градиентом энергии соответствующего поля [1-5].
Применительно к большей части приложений можно ограничиться рассмотрением операций на пространстве векторных полей и гладких функций в R3.
Существует несколько способов [6-8] отыскания функции по ее градиенту
, , _ (д[ д/ д/) ё/ = У/ = .
^от ду дг)
Наиболее простой способ [9] заключается в вычислении криволинейного интеграла
/ = [ — йх +—dy +—dz =
J дх ду дг
(X, у0, г0)сЬс + (х, у, г0)4у + (х, у, £)дг.
* ох ду дг
Уо 2о
Достоинством этого метода является компактность, недостатком - необходимость выбора начальной точки интегрирования (хо,уо,г0). Последнее сопряжено с произволом, который может отразиться на виде окончательного решения. Кроме того, в ряде случаев это может быть сопряжено с трудностями, вследствие чего представлять собой дополнительную задачу. Пример 1. Для двухмерного случая
д[ д/ х2 х — = 2хагсзт у + 1п (у -1), — =--1-— If, — I-- I
дх ду у-1
возникает проблема с выбором у0, поскольку должны одновременно выполняться условия: у < 1 и
У > 1Есть способы (например, [10]), лишенные этого изъяна. Они заключаются в подборе вспомогательных функций. Их существенные недостатки - трудоемкость и громоздкость.
Предлагаемый нами подход свободен от недостатков указанных способов. По трудоемкости и компактности он сопоставим с первым способом, и в нем нет необходимости определения исходной точки интегрирования.
Теорема. Функция/может быть восстановлена по ее градиенту (1) в соответствии с формулой:
/ = +\\—dy - 2К - Г„ - УХ7 - К + С =
J дх су дг ^ ^ " ^
= Рху2 (X, у, 2) + Рху (х, у) + РХ2 (X, 2) + рх (X) + ^ (X, у, 2) + ^ (х, у) + ^ (у, 2) + 0у (у) + (2)
+Рху2 (х, .у, 2) + ЯХ2 (х, 2) + Яуг (у, 2) + (2) - 2¥хуг - ^ - ГХ2 - Гуг + С. При этом
Р = О = Р = V ("34)
хуг ¿^хуг хуг хуг & V /
= <2ху = Уху, (4)
Р.в = = ^ , (5)
<2уг = Руг = ^ • (6)
Величины (3) - (6) представляют собой функции, содержащие переменные, указанные в индексах.
Доказательство. Очевидны равенства:
= О. (У,г) + (У) + в^ (У,г) + ву (У);
| ^ ^ = (х, у, 2) + Ях2 (х, г) + Яу2 (у, 2) + Я2 (г),
■ - Ят
дхдудг Зх дхдудг дхдудг 53 53 / 5 ^
■ * Ял;
дхдудг* ду дхдудг дхдудх 53 53 / 53 кху2
■ * я^
дхдудг1 дг дхдудг дхдудг Отсюда непосредственно следует (3):
дхду1 дх дхду дхду дхду д2 [дГ д2/ 5^ , 5^
дхду1 ду дхду дхду дхду Отсюда, с учетом (3), следует (4):
^2 Г 2 / 2 Рху2 д > Р
■ • Яг
дхдг} дх дхдг дхдг дхдг
Зх 8х8г 8х8г 8х8г Отсюда, с учетом (3), следует (5):
а2 / _ а 2а,г а ^
дудг дудг дудг 82 ^ 82 Я 82 Я
V J хуг уг
дудг* 8у 82 гд/
-I-UZ —-—--1-дудг* дудг дудг дудг Отсюда, с учетом (3), следует (6). Координаты градиента функции (2) можно вычислить следующим образом.
дх дх I
:(/£*+о^ + а, + оу. + оу +
++ ^ + я* + - 2 гхуг - гху - гхг - гуг + с):
Слагаемые в скобках, являющиеся функциями от х, кроме первого, взаимно уничтожаются. Частные производные по х от остальных равны нулю.
Аналогичным образом обстоит дело с частными производными по_у и г.
Таким образом, градиент правой части (2) равен (1), следовательно, правая часть (2) представляет собой восстановленную функцию/ Теорема доказана. Следствие.
/ = ^ + Уху + УХ1 + Ууг + Ух + Уу +У2 + С. (7)
Здесь Ух = Р(х), ¥у = <2у(у), = Яг(г). Пример 2.
grad/ = — + эт у н---ь 2х \\ + х сое у--- + 2уг + 3у
/ V Л (
— + 1п х + 3 у г - е2
/ =--ь х эт у + г 1п х + х
—ь х эт у + у г + у
--ь г 1п х + у г - е2 - 2--х эт у - г 1п х - у г + С =
v у ) у
=--ь х эт у + г 1п х + у г + х + у - е1 + С.
Здесь
= = Ку; = Уху; =~, РХу = Яху = Уху = Х вШ У, Рхг = ^ = = 2 1п X,
<2у, = = г* = у2^ р* = к = х2, б, = = = = .
Вычисление по формуле (7) еще компактнее.
УДК 517.922.519.21
В.А. Труфанов, Т.В. Труфанова, М.Д. Штыкин ДЕЙСТВИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА НА ПРОЦЕСС (0
В статье рассматривается нахождение решения линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде осциллятора, правой частью которого является процесс ^ (t)
EFFECT OF THE LINEAR OPERATOR ON PROCESS )
The paper deals -with the solution of a linear nonhomogeneous differential equation in the form of an oscillator, the right part of iwhich is the process ^ (t).
В приложениях приходится исследовать случайные процессы, получающиеся в результате применения более сложных математических операций (символически обозначаемые оператором) к случайным процессам, характеристики которых известны.
Важный класс линейных операторов можно представить в виде:
где процесс, к которому применяется данный оператор; К(t,известная функция, вид
которой и определяет свойство оператора. В частном случае, когда функция К(t, t^) является функцией разности своих аргументов, формула (1) принимает вид:
