Спросить
Войти
Вестник ЛмГУ
Выпуск 85, 2019
УДК 514.13
Т.А. Юрьева
ПОСТРОЕНИЕ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА НА ЕДИНИЧНОЙ СФЕРЕ КАК ДВУМЕРНОМ МНОГООБРАЗИИ
В статье рассматривается процедура построения однопараметрическо-го семейства дифференциальных уравнений типа Монжа - Ампера, которая является начальным этапом выявления достаточных условий разрешимости общего уравнения типа Монжа -Ампера.
CONSTRUCTION OF A SINGLE-PARAMETRIC FAMILY OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE MONGE - AMPER TYPE ON A SINGLE SPHERE AS A TWO-DIMENSIONAL DIVERSITY
The article discusses the procedure for constructing a one-parameter family of differential equations of the Monge -Ampere type, which is the initial stage of identifying sufficient solvability conditions for the general Monge-Ampere type equation.
К дифференциальным уравнениям Монжа - Ампера на S? в пространствах постоянной кривизны приводят геометрические задачи восстановления замкнутой выпуклой поверхности с заданными геометрическими характеристиками, - например, внутренней (внешней) кривизной [1,3].
В аналитическом плане задача восстановления поверхности по ее геометрической характеристике равносильна выявлению достаточных условий существования решения соответствующего дифференциального уравнения.
Теоремы существования решений дифференциальных уравнений часто используют топологические методы.
Первым этапом процесса доказательства разрешимости дифференциального уравнения соответствующей геометрической задачи является ввод уравнения в однопараметрическое семейство уравнений ФТ = 0, т е [0,1], удовлетворяющее некоторым условиям, а затем применение метода продолжения по параметру т.
Кратко метод можно охарактеризовать следующим образом.
Пусть Т - множество значений параметра т е [0,1], для которых Фт = О разрешимо.
Если Т не является пустым множеством, Т является открытым множеством на [ОД], Т является замкнутым множеством на [ОД], то Т совпадает с [0,1]: Г = [0,1]. В этом случае становится разрешимым исходное уравнение, так как ему соответствует некоторое значение т е [ОД].
Выпуск 85, 2019
Вестник АмГУ
В работе [2] мы рассмотрели уравнение типа Монжа - Ампера на общего вида, явившееся обобщением вышеуказанных геометрических задач:
Р11Р22 ~ Р\\ 2 ~~ А1 и(Р)Р1 + Ф(Р)& 2 А2 А А + Pv.Pl) + Ф(Р)& Фх *)] +
+2 А2& Л А) & А А " Р22 и (А)& Ри + А)& Ф2 0> V)] + £>(г/, у,р,ри,ру) = (1)
-у/(щ V, • Д (г/, V, А А > А )•
В уравнении (1) {и,у) - локальные географические координаты единичной сферы , р е ; у012, р22 - ковариантные производные второго порядка функции р = р{и9\\) относительно метрики единичной сферы.
Далее: в [2] показано, что в предположении /(/?) > 0 , ф{р) > 0, фх(и,у)> 0, ф2(и,у) > 0 условием отрицательной эллиптичности уравнения (1) является неравенство: АС - В2 - В+ ц/Вх > О,
¿ = Лр)р1+Ф(р)-Ми>*)> в = АР)РиРг> С = /(Р)&Р2и+Ф(Р)&Ф2МВключим уравнение (1) в однопараметрическое семейство уравнений ФТ = 0 :
РиР22 ~ Рп ~ РпШР)Р1 + Ф(Р)& 2А2А А + р22ри) + Ф(Р)& ФМ,У)\\ +
+2 А2& Л А)& А А ~ Р22 и (А)& Ри + А)& Ф2 0> V)] + £> (г/, V, р,ри,ру)= (2)
= ту/(и9 V, + (1 - г) • у/{и, V, р9 р0).
В уравнении (2) те[0,1], р0е(р19р2)9 у/(и9у9р9р0) = И^ААо)!
, П(и,у,р0,0,0)
= у/А _ , =---; числа д и р2 являются оценками р-руи9у) решения уравнения (1)
Д(м,у,/70,0,0)
в метрике С°(5&12): д < р(и,у) < р2. Условия, обеспечивающие эти оценки, следующие: у/(и,у,р) > у/0 при р < рх и у/(и9у9р) < у/0 при р> р2 (рх<р2).
Уравнение (1) входит в семейство Фт = 0 уравнений (2) при г = 1. При г = 0 имеем следующее уравнение:
А1А22 - А22 - Ац[ЛА)Ау2 + ^(А)& 2А2А А + А2А2)+^(А)& ФМ> V)] +
+2 Аг • /(а) • А А - А22 [/(а) • А2 + А) • ф2 0> V)] + £>(г/, V, р,ри,ру)= (3)
-Ох(и,у,р,ри,ру).
D(u9v9pQ9 0,0)
Dx(u9v9pQ9 0,0)
Решением уравнения (3) является функция р = р0= const. В самом деле, для р = р0 первые и вторые производные обращаются в нуль: ри - pv = рхх - рХ2 = р22 - 0. В результате получаем тожде-D(u,y,Pr,, 0,0)
ство: D(u,v,р0,0,0)= ; . & • А(и,v,р0,0,0). Dx(u,y,p0,0,0)
Таким образом, множество Т значений параметра г, для которых семейство (2) разрешимо, не является пустым. Исходное уравнение (1) входит в Фт = 0 при г = 1 (т е [0,1]).
Семейство Фт = 0, т.е. семейство (2), представляет собой совокупность отрицательно эллиптичных уравнений.
При т -1 исходное уравнение (1) отрицательно эллиптично при АС -В2 -D + у/(и, v,р) • Dx > 0 . При т - 0, как уже показано, решением (2) является р - pQ = const. В этом случае А = • фх(и,у), В = 0, С = ф(р)-ф2(и,у), АС-В2 =ф2(р)-фх(и,у)&ф2(и,у)> 0, так как ^(^,v)>0, (р2(и,у)> 0 по условию.
Выражение АС-В2 -D + y/Dx = (p2{p)-(pl(u,v)-(p2(u,v)-D(u,v,p0,0,0) +
^ D(u,v, р0,0,0) ^ р0,0,0) = ф2 (р) • фх {и, v) • ф2 (и, v) > 0 . Поэтому условие отрицательной 0,0)
эллиптичности выполняется для функции i//(u,v,p0,0,0).
Тогда условие отрицательной эллиптичности выполняется для всех функций i//T =Ti//(u,v,p) + (l-T)i//(u,v,p,p0), так как у/т есть выпуклая комбинация функций i//(u,v,p) и i//(u,v,p,p0).
Таким образом, однопараметрическое семейство Фт = 0 отрицательно эллиптичных уравнений построено.
В частности, для уравнения работы [3]:
PllPll ~ Pl2 ~ Pi 1 (2ctkP & Pv + SHP & СНР) + 2PnPuPvCtkP ~ Pll (2ctkP & Pi + SHP & CHP C0S2 V) "
-(p2 cos2 V + -^—f + 2p2 + 2p2 cos2 V + sh2p cos2 v = (4)
= Jgi(M,v,/P)^2+^cos2v + J^-cos2v)2
которое соответствует геометрической задаче восстановления замкнутой выпуклой поверхности в Я3 с заданной функцией внутренней кривизны, семейство Фт = 0 имеет вид:
А 1^22 " Рп ~ Pi 1 (2cthP & Pv + shP & chP) + 2PnPuPvCthP ~ Pll (2cthP & pi + shP & chP COs2 v) -(yP2 cos2 v + -^—f +2p2u+2pl cos2 v + sh2p cos2 v = rKi (г/, v, /э) + (1 - r) cosv
Здесь
A> ch"Po л _ ch2p0 _ ch2p0 - sh2p0
psh2 pch2 p j
psh pch p sh p0 sh p0 sh p0 p=p0
_ D(u,v,p, 0,0) _ sh2p cos2v
A(«,v,a0,0) 1 (sh2pcos2v)2 sh2p
