ИНТЕРПОЛЯЦИИ НЕСЛОЖНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ «ЗЕРКАЛЬНЫМ» МЕТОДОМ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ИНТЕРПОЛЯЦИИ НЕСЛОЖНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ «ЗЕРКАЛЬНЫМ» МЕТОДОМ Журавлева А.В.1, Даулеткулов А.Б.2 Email: Zhuravleva1170@scientifictext.ru

факультет математики и компьютерных наук, Кубанский государственный университет, г. Краснодар;

Школа «БЭСТ»

Общественный республиканский фонд образования «БЭСТ», г. Алматы, Республика Казахстан

Аннотация: статья посвящена оценке точности построения кубической сплайн интерполяции «зеркальным» методом. Для проверки качества интерполяции «зеркальным» методом была проведена оценка точности восстановления простых и употребляемых функций. В качестве сравнения были взяты семь функций. Эти функции представляют собой функции различного поведения, от простых, без локальных экстремумов и перегибов, и кончая более сложным, с чередованием участков убывания-возрастания, а затем и с чередованием направлений выпуклости. Сравнение результатов применения данного метода для восстановления простых и употребляемых функций показало, что данные, полученные «зеркальным» методом, не хуже полученных «стандартными» методами. Ключевые слова: сплайн, интерполяция, зеркальный метод, элементарные функции.

INTERPOLATION OF SIMPLE ELEMENTARY FUNCTIONS BY THE

"MIRROR" METHOD

Abstract: the article is devoted to assessing the accuracy of constructing cubic spline interpolation by the "mirror" method. To check the quality of interpolation by the "mirror" method, the accuracy of restoring simple and used functions was evaluated. Seven functions were taken as a comparison. These functions are functions of various behaviors, from simple ones, without local extrema and kinks, and ending with more complex ones, with alternating sections of decreasing and increasing, and then with alternating directions of convexity. Comparison of the results of applying this method to restore simple and used functions showed that the data obtained by the "mirror" method are no worse than those obtained by the "standard" methods. Keywords: spline, interpolation, mirror method, elementary functions.

УДК 519.652

Построение интерполяционных кривых «зеркальным» методом интерполяции заключается в расчете интерполяционной кривой с использованием формулы [1, с. 15]:

(xi+1 - x)2(2(x - Xj) + hi) (x- Xi)2(2(xi+1 -x) + ht)

-fi +

, Oi+1 — x) (x - Xi) (X — Xi) (X — Xj+1) H--~-Щ H--~-Ш;.

где h=(xi+1-x), а т++1 и mi - производные функции f в точках х+1 и х, соответственно.

В качестве приближенных значений производных mi используется наклон прямой, которая перпендикулярна биссектрисе угла, образованного точками (х-_1,у-_1), (х,у) и (Хг+1,Уг+1) [2].

Для проведения исследований был взят ряд функций из работы [3]. При изучении воспроизводимости заданных стандартных функций интерполяционной сплайн кривой, полученной с использованием «зеркального» метода, вычислялось среднеквадратичное отклонение точек полученных расчетным путем от «эталонных». Результаты сравнивались с результатами полученными методами Лагранжа, «стандартным» кубическим сплайном и сплайном, полученным по методу Х. Акима. Как и в работе С.В.Знаменского [3], задание табличных значений велось с шагом 1,0. Дополнительно, для исследования изменение шага интерполяции на точность метода проводилась интерполяция по исходным данным заданных с шагом 0,5. Интерполяционные кривые и значения стандартных функций рассчитывались с шагом 0,1.

На рисунках 1 - 7 приведены интерполяционные кривые и абсолютные отклонения значения вычисленных сплайн кривых от «эталона».

-4-3-2-10 1 2 3 4 ......... Mirror -exp(x)

-15-0,5-05-1

Кубический ■ Акима

Лагранж Mirror

Рис. 1. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции ех

-0,04 -0,06

ln(x-0.1)

Кубический ■ Акима

Лагранж Mirror

Рис. 2. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции Ln(x-0.1)

----------Кубический...........................Лагранж

--------Акима -Mirror

Рис. 3. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции 1/x

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 ..... Mirror -exp (-0.01*x2)

-8 -7 -6 -5 -4 -3

---------- Кубический

-------- Акима

Лагранж Mirror

Рис. 4. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции exp (-0.01 ^x2)

-0,5 Кубический Акима

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ......... Mirror -sqrt(25-xA2)

Рис. 5. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции V25 — х2

-0,2 -0,3

Лагранж Mirror

■ x/(1+5*xA2)

-------Кубический Лагранж

--------Акима -Mirror

Рис. 6. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции

(1+5а"2)

ajr-^uji/iu^r-^o^o^in <rT (N~ о" о" (N~ т

-6 /-5 -4

-3-2-101234 -•-• Кубический ...........................Лагранж

- Акима

Рис. 7. Интерполяция и абсолютные отклонения для функции аЬБ(х) Особого внимания заслуживает «хитрая» функция *

Дело в том, что экстремумы функции попадают в «слепое пятно», то есть лежат в середине рассчитываемого отрезка. Однако уже при задании точек для интерполяции через 0,5, интерполяционная кривая максимально приближается к «эталонной», как показано на рисунке 8.

Рис. 8. Графики функции * и её интерполянты 0,2

fi-yi (1.0) .......fi-yi (0.5)

Рис. 9. Графики абсолютных отклонений интерполяции

Наибольшие отклонения при применении «зеркального» метода построения интерполяционных кривых выявлены на границах диапазона [а,а+1] и [Ь,Ь-1], что связанно с неопределенностью в граничных условиях. При этом в диапазоне [а+1,Ь-1] абсолютные отклонения не больше, чем для «стандартных» методов построения интерполяционных кривых.

При построении интерполяционной кривой функции Г=|х| наибольшее отклонение происходит в точке (0,0), где функция имеет излом.

Данные сравнения средних квадратичных отклонений результатов интерполяции простых функций различными методами приведены в таблице.

Таблица 1. Среднеквадратичное отклонение результатов интерполяции простых функций

№ Функция Интервал Кубический Лагранж Акима Mirror

Шаг 1,0 Шаг 0,5

Разделяя точку зрения С.В. Знаменского, о двух основных критериях качества интерполяции, можно отметить, что:

Во-первых, «зеркальный» метод имеет локальность 1.

Во-вторых, полученные «зеркальным» методом, не хуже, чем полученных «стандартными» методами.

Таким образом, результаты, полученные при построении кубических интерполяционных сплайн кривых «зеркальным» методом стандартных функций, показали приемлемость применения данного подхода.

Список литературы /References