УСТАНОВЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ В

5. Панагиотопулос, П. Неравенства в механике и их приложения. - М.: Мир, 1989. - 492 с.

УДК 514.742.24

И.П. Попов

УСТАНОВЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ В Мn

Излагается метод определения векторного произведения двух векторов в n-мерном евклидовом пространстве при n > 3.

DETERMINATION OF VECTOR PRODUCT OF TWO VECTORS IN Мn

A method for determining the vector product of two vectors in an n-dimensional Euclidean space for n > 3 is presented.

Целью работы является определение векторного произведения двух векторов с = [а, Ь] в n-мерном евклидовом пространстве при п > 3.

Далее применяются ортонормированные базисы [1-5].

Теорема 1. Для двух линейно независимых векторов а и Ь в Мn существует их векторное произведение с = [а, Ь].

Доказательство. Три линейно независимых вектора a, b и g имеют инвариантное описание, включающее длины векторов, углы между ними и их взаимную ориентацию. Для каждого из этих трех векторов однозначно определена их проекция на любой другой вектор. Другими словами, определены их попарные скалярные произведения.

В этой связи векторы a, b и g могут иметь однозначное координатное описание в базисах любой размерности, начиная с 3 (пассивная точка зрения - alias). При координатном описании они сохраняют размеры, углы между ними и взаимную ориентацию. Иначе говоря, координатное описание той или иной размерности при пассивной точке зрения не меняет сущность векторов и их отношений друг к другу. Следовательно, если в качестве вектора g рассматривать вектор с, являющийся при инвариантном описании векторным произведением векторов a и b, то его сущность в этом качестве не

изменится при координатном описании в мп . Теорема доказана.

Определение 1. m-расщеплением базисного вектора еТ в Мп является его замена на m векторов ет1,...,е.,...,ет , ортогональных друг другу и всем другим базисным векторам исходного базиса. При этом

е. = Vk..e.., • Z_i v v &

где kj - направляющие косинусы еТ в базисе ет1,...,е..,...,eim; m-расщепление базисного вектора повышает размерность пространства на m - 1.

Выбор направляющих косинусов kj может быть сопряжен с произволом. Произвол минимизируется при симметричном m-расщеплении.

Определение 2. Симметричное m-расщепление базисного вектора - это m-расщепление, при котором

Vj е [1, m]| kj =

Теорема 2. Векторное произведение с = [а, Ь] может быть представлено в Жп . Доказательство. Пусть в Ж3 имеются два линейно независимых вектора а и Ь. Их координаты равны

f a1 Л f b 1

a = a2 и b = b2

v0 J V0 J

Для векторов а и Ь в Ж3 определено векторное произведение с = [а, Ь]. Его координаты равны

V Сз J

Базисный вектор е3 подвергается симметричному (п - 2)-расщеплению. В образовавшемся Жп (в базисе 1е1,1е2,...,1еп) имеют место все три вектора (пассивная точка зрения), координаты которых, соответственно, равны

(1а1 1 (1Ь1& ( 01&

V 0п у V 0п у 1с V п у

Здесь V/ е [3, п]| • 1с1 =

Произвольная квадратная матрица отображения Т позволяет получить координаты всех трех векторов в другом базисе этой же размерности 2е1; 2е2,...,2еп.

а = Т • а =

V а» у

( 2Ь1 1

Таким образом, в произвольном базисе 2е1; 2е2,...,2еп для двух векторов а и Ь имеет место их векторное произведение с = [а, Ь] с координатами (2). Теорема доказана. Тем самым решена некоторым образом обратная задача - при известном векторном произведении определение координат всех трех векторов в Жп .

Пример 1. В Ж3 координаты векторов а и Ь равны а =

Координаты векторного произведения с = [а, Ь] равны с =

Базисный вектор е3 подвергается симметричному 2-расщеплению. В образовавшемся Ж4 координаты векторов равны

( 2 ^ (0 ^ (0 1

а= , 1с =

V0 у V0 у V 7,071у

Произвольная квадратная матрица отображения ( 0,497 0,628 0,287 - 0,527 1 0,47 0,22 - 0,814 0,262 -0,171 0,604 0,296 0,72 0,709 - 0,439 0,41 0,369

позволяет получить координаты всех трех векторов в другом базисе этой же размерности

а = Т • а =

( 2,8761 1,599 1,47

Ч0,101У

( 3,138 1 1,099 3,02

ч-2,197у

(-1,695 1 -3,902 7,184 ч 5,503у

Здесь с = [а, Ь].

Вектор с = [а, Ь] должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и Ь.

В трехмерном пространстве к этой плоскости может быть построено два перпендикуляра (левый и правый), что создает неоднозначность в направлении с. Для преодоления этой неоднозначности в качестве направления с постулируется один из двух перпендикуляров - правый относительно а и Ь.

В пространствах более высокой размерности неоднозначность выше - равна бесконечности. Она может быть преодолена точно так же, как и в трехмерном, - выбором одного, наиболее подходящего варианта.

По аналогии с взаимным расположением вектора с и вектора, являющегося суммой базисных ортов, имеющем место для частного случая (1), для произвольного базиса можно принять следующее.

Условие 1. Векторное произведение с = [а, Ь] в Жп лежит на одной прямой с проекцией суммы базисных ортов на (п - 2)-плоскостъ, перпендикулярную векторам а и Ь.

Векторное произведение в Ж3 формально удовлетворяет условию 1.

Пусть в базисе е1, е2,..., еп вектор d имеет координаты Н.

Повороту т/&-й координатной 2-плоскости соответствует следующая матрица перехода

П„ 012

cos ф : sin ф

- Sin ф : COSф

При этом

COS ф = d.

-- , Sin ф = .- .

jdfTdf Vd2+dj

В результате поворота координаты приобретают значения

d. = d: cos ф + d: sin ф ^ d2 + d j ,

Т 1 J V j

d = -dt sin ф + d cos ф = 0 .

Все другие координаты остаются без изменения.

Таким образом, поворот J&-й координатной 2-плоскости в соответствии с матрицей перехода Т. обнуляет координату J вектора d.

Пусть в базисе е1,е2,...,en векторы а и b имеют координаты

Г b1 ^ К

Для перехода к новому базису *е1; *е2,..., *еп, в котором векторы а и Ь будут иметь координагЬ 1

следует выполнить 2п - С - I поворотов координатных 2-плоскостей. Здесь С - число ненулевых координат обоих векторов в новом базисе, I - число нулевых координат в исходном базисе. В рассматриваемом случае С = 3. Каждому повороту соответствует своя матрица Тк типа (3). Матрица перехода от базиса е1, е2,..., еп к базису * е1,* е2,..., * еп равна

Т = П Тк ,

к=2п-С-1

т.е. перемножение производится в обратной последовательности. При этом *а = Та, *Ь = ТЬ .

Сумма ортов базиса е1, е2,..., еп в новом базисе * е1,* е2,..., * еп имеет координаты

/* \\ & 5 1

* 5 = Ts = Т

ч п у

Координаты вектора с = [а, Ь] в новом базисе *е1, *е2,..., *еп в соответствии с условием 1 равны:

Г 0 1 0

ч Сп у

с. = * *а2Ь2 - (а • Ь)2

Т е [3, п].

Вектор с с координатами с можно разложить на две составляющие: С1 с положительными координатами и с2 - с отрицательными.

Условие 2. Знак радикала в (4) выбирается таким образом, чтобы больший из векторов С1 и с2 образовывал с а и Ь правую тройку векторов.

Условие 3. Если С1 = с2, то векторы а, Ь и с имеют нейтральную ориентацию. В этом случае направление с является двузначным.

Координаты вектора с = [а, Ь] в исходном базисе е1, е2,..., еп равны

гг-1 *

с = Т •с =

Пример 2. В Ж4 по известным значениям а и Ь отыскать с = [а, Ь].

( 3,37 ^ 2,762 -2,395 -0,532

(0,988 0

( 3,289^ 1,539 -5,697 1,834

( 3,411 ^ 2,762 -2,395 0

( 0,818 0 - 0,575

( 0,834 0,552 0 0^

-0,552 0,834 0 0

а = Т •2 а =

(4,168"

Т =ТТТ=

^ 31 -£3"£2-11

( 0,674 0,552 - 0,479 - 0,106 ^

-0,447 0,834 0,317 0,07

( 5,6 ^ 2,98 -2,96 0

( 5,6 ^ 4,2 0

( 5,6 ^ -1,865 -2,96 ч 2,324,

Т51 = Т5Т4Т31 = ТТТ3ТТ =

Матрица перехода от исходного базиса е1, е2, е3, е4 к базису 5 е1,5 е2,5 е3,5 е4 равна

( 0,674 0,552 -0,479 -0,106 ^

-0,115 - 0,37 - 0,718 0,578

ч 0,251 - 0,65 - 0,248 - 0,673у

Очевидно, что

Сумма ортов исходного базиса е1, е2, е3, е4 в новом базисе 5 е1,5 е2,5 е3,5 е4 имеет координаты

* = Т51* = Т51

( 0,641"

-1 32 V У

В соответствии с (4):

Г 0 1 0

Координаты вектора с = [а, Ь] в исходном базисе е1, е2, е3, е4 равны

Г 5,8221 4,869

с = Т51

Замечание. Фиксированные значения а и Ь (5а и 5Ь в примере 2) могут быть получены при различных значениях матрицы перехода Т (Т51). Нетрудно убедиться, что значение векторного произведения с остается при этом неизменным, поскольку взаимное расположение векторов а, Ь и суммы исходных базисных ортов при любом преобразовании координат не изменяется.