Спросить
Войти
5. Фисунов П.А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах специальных классов. - Чебоксары, 1999. - 33 с. - Деп. В ВИНИТИ РАН 1999. - № 1835-В99.
ВВЕДЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ТРЕХСОСТАВНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Попов Юрий Иванович
канд. физ.-мат. наук, проф. института прикладной математики и информационных технологий, Балтийский федеральный университет имени И. Канта,
РФ, г. Калининград E-mail: AndreyBudylkin@rambler. ru
INTRODUCTION PROJECTIVE CONNECTIONS ON THREE-PART DISTRIBUTION OF PROJECTIVE SPACE
Yuri Popov
candidate of science, professor of institute of applied mathematics and information technologies, Baltic federal university of I. Kant,
Russia, Kaliningrad
АННОТАЦИЯ
Данная статья является непосредственным продолжением работы [8] и выполнена инвариантным теоретико-групповым методом Г.Ф. Лаптева [2]. Дано построение проективных связностей (определенных путем проектирования [4]), ассоциированных
с подрасслоениями Hr, Hs, Hn_m_x данного TH - распределения. Приведены охваты компонент тензоров кручения-кривизны, построенных проективных связностей Г, у, 3 соответственно распределений Hr, Hs, Hn_m_! .Указан способ построения двойственных проективных связностей Г, у, 3 соответственно связностям Г, у, 3 .Теория TH - распределения актуальна, так как она применяется для изучения геометрии, как вырожденных гиперполос Hrm с р [5; 6], так
и для регулярных гиперполос и гиперповерхностей (общего и специального типов) проективного пространства [8; 7; 1].
Во всей работе индексы принимают следующие значения:
p, q, m, s, t, f, g = 0; r ;
h,i,j,k,l = r +1,m ; а,р,у,8,е,ц = m + 1;n-1 ; a,b,c,d,e = 1,m ; a,b,c,d,e = 0;m ;
р,а,т = 1; n -1 ; u, v, w = r +1; n-1 ; U, v, w = r +1; n а,Ду = m +1; n ; h, 7, j, k, 7 = {0; r +1, m}
ABSTRACT
This article is a continuation of [8] and made by invariant group-thearetic method of G.F. Laptev. Given the construction of projective connections associated with subbundles Hr, Hs, Hn_m_x of TH distribution. Also given the coverages of torsion-curvature tensor components, constructed projective connections Г,у,3 respectively distributions
Hr, Hs, Hn_m_Shown a method of constructing the dual projective connections Г, у, 3 respectively connections Г, у, 3. Study of TH -distributions is actual, because the theory of TH - distributions can be used to study torsovyh surfaces, dimensional hyperbands regular and special classes hyperbands and hypersurfaces of projective space.
Indexes are: I,J,%L... = 1;n ; 1,3,%L... = 0;n ; p,q,r,s,t,f,g = 1;r ; p, q, r, s, t, f, g = 0; r ;
h, i, j, k, l = r +1, m ; а,р,у,8,е,ц = m + 1; n-1 ; a,b, c, d, e = 1,m ; a,b,c,d,e = 0;m ;
p,a,z = 1;n-1;u,v,w = r +1;n-1;U,v,w = r +1;n a,p,y = m +1;n ; h, i, j,k,7 = {0;r +1,m}
< = ; <К = лПХ ; < = л па(;
К = КоК; < = ЛХ ; < = л^аК ; (1)
< = лаК<; К = КХ; К = лкК •
Замечание. Здесь Г; = {АпрК;ЛП;Л^;АарК;А*к;А&рК} - фундаментальный объект 1-го порядка, а Г2 = {Г; Лрк; ЛраК; ЛаК} - фундаментальный объект 2-го порядка исследуемого многообразия ТН.
В целях полноты изложения приведем дифференциальные уравнения, которым подчинены компоненты фундаментального объекта 2-го порядка Г2 [8], т. е. функций, входящих в уравнения (1):
vk; +л>; =КпкК , vk; +л>; =Л;хк , vk; +л; к; =к-ракК,
VKn +Kn а"-Лп оа-Л"К -Лп К-о" =Лп кк;
pn pn ° ра n pi n pq n p pnK ° &
VKn + ЛК" =Kn„ oK,
j j ° ijK ° &
VKia +Kia О" =Ка(К,
VKn +Kn a" -K(j - Л" аа-а° = Л"гаК;
М + Ла ®° + Лп ®а =Ла ф,
рЧ рЧ ° РЧ п р/уК ° 5
Vе1 ,+Ла +Лп ф а = Ла ®К,
рг рг ° рг п ргК ° 5
п+Ла+ Лп®® а -ф°8ап =Лапфк,
рр рр ° рр п р р ррК ° &
I а , л а Ла уЛч л а ЛЛ1 л а ЛЛР , Лп ^ а _ \\ а
УЛа +Ла ®° -Ла ®Ч -Ла ®г -Лафр +Лп фа =Ла ф
рп рп ° рч п рг п рр п рп п рпК
УЛа +Лаф° =Лафк,
гр гр ° грК ° &
УЛа +Лаф° +Лпфа =ЛафК
у г ° у п (/К °
п а \\рфп ■ I а
о а •\\8р
I а К грК® ° >
УЛа +Лаф-Лаф-А®-Л® +Лгппфап =Л^фК;
УЛ" +Л" ф° = А
ул! +Л>°° -Лф-ф° =ЛпгяКфК
УЛ "ач +Лау°-ф°8р =лрдфК ул р +л ф = лрф,
УЛро +Лро ф° +Л"а фр =Л р„ „ ф
ар п лЧ
арК °
УЛр„ +лру° -лр®ф/ -лрф( -лря+Л1 фр =лр.„ф
ул&ад +лаф° =лчфК,
УЛ&, +л1 -ф°8( =л& фк
^ар+Крф°°+Л"афп
Сп +л>° -Л&®:
а/К ° &
г ,-)К
арК®° &
С®П =Л&ааКф°К ;
ул( +Л( ф° +Лп ф( =л( ®к,
рЧ рч ° рч п рук ° 5
ул& . +Л( + Л" ф -ф°8. = л& "к
ул& +Л( ф° +Лп ф( =л( ФК,
ра ра ° ра п раК ° 5
УЛ& + Л& и° -Л в* - Хм* - Л&>£ + А" м" = Л
рП рп О р^ II рр И р] 11 рп П. рил. О &
УЛр +Лр®° -®°8р = Лрг ®К,
г/ г/ ° г Ч ЩК °
УЛр +Лп ф° +Лп фр =ЛР ®К,
гп гр ° ги п гиК ° 5
УЛр +лр®° -лр® -Арф -лр„фП +ЛПфр =лр„®К
Коэффициенты в правых частях уравнения (2), вообще говоря, не симметричны по нижним индексам.
Проективную связность Г пространства Рпг определим при помощи системы форм } :
шЁ = юр -Гр.ак,
& д д дк о &
удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]:
ФаО = аьо л + < а , (3)
=Ш л¥р +а>К лАГРк
АПК = ^ -г>! +г>| -гд>К +
+Цк< +А"дк< -г^ ,
лОк , лПк =#к ■
Геометрический объект Г Ёк (следуя работе [4]) назовем объектом проективной связности пространства Рщ-.
Формы ТЁ (3) определяют проективную связность в слоях (плоскостях Пг распределения Нг) пространства проективной связности Рп,г тогда и только тогда [2-4], когда
- дк х дкь&
^ ■ (4)
При этом структурные уравнения для слоевых форм ТЁ (3) пространства Рп,г имеют вид
=Ш лшр + Щкь®Ок ла>О, (5)
яр = гр
дКЬ г я[Щ
• компоненты тензора кручения-кривизны проективной связности Г пространства Рп,г.
Пусть базисное распределение Нг (распределение плоскостей
Пг) трехсоставного распределения ТН оснащено в смысле Картана [10] внутренним образом. То есть в каждом центре Ао элемента распределения ТН внутренним инвариантным образом присоединена оснащающая плоскость Кп_г_¡(ур) [8], § 5, принадлежащая нормали 1-го рода г(А0) базисного распределения Нг и не проходящая через точку Ао. Известно [8, § 5], что инвариантная оснащающая плоскость К г ¡(ур) натянута на точки
=Аа+КАа, % =А +Л°А0,
к, (ур) = (у0 +уаА° + угА°)А + урА + у"А +А , (6)
\\ п у \\ п па п г & о п р п и п5 V/
у0 =- !(ур - А" уру"), Ууу" -А"ж"+урж0 +ж0 = 0,
п ^ V пр рц п п 8 п и п п р п >
А0 =- - Ар , УА° +я0 = 0; А0 =- -Ар, УЛ"+л0 = 0.
а а р& 8 а а > г гр^ 8 г г
Построим проективную связность Г, внутренне определенную самим распределением ТН, т. е. построим охват объекта проективной связности Г фундаментальными объектами распределения ТН.
Предварительно представим систему дифференциальных уравнений (4) в следующем виде:
Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения (7) -(10) удовлетворяются, если в качестве компонент объекта проективной связности Г = (Гр. } взять такие функции:
Г! = 0, Гр = у„р
Г° = 0, Г. =Л°
ор & 01 I
Г? =Л"„ ур,
дК дК п >
Г° = у°Л" +Л0 Л" +Л0Л& .
дК п дК а дК I дК
Г0 =Л0; Г0 = у°;
оа а 0п п&
Замечание. Охват объекта проективной связности Г по формулам (11) можно осуществить с помощью компонент фундаментального объекта второго порядка (третьего порядка,...) распределения ЗЖ. Этот порядок зависит от порядка квазитензоров ур ,Уп у", участвующих в охватах (11) функций ГРк .
Слоевые формы ур пространства проективной связности Рп,г внутренне определенного на распределении Жг с ЗЖ имеют вид:
< =< -У°Л +Л03&К +Л°а8а^,
Шр = фр -ур81аК
=ар -ЛпуурюК,
д д дК п 0 &
¥ =< - У0ЛпдК +Л°аЛадК +Л0Л& .
Можно показать, следуя работе [4], что построенная внутренним образом проективная связность Г определена путем проектирования при помощи оснащающей по Картану плоскости Кп-г-,(Ур )(А0 ) = [К ,Ка ,Кп ] (6).
Компоненты тензора кручения-кривизны Яр^ пространства Рп,г в структурных уравнениях (5) имеют следующие строения [4]:
Ккъ = АурА^ +уурА"р[к8"ь] --А0К^р-у:Апр[к8рц -А0[к8ии Кк^ = А08[ик8рр] + уп8п8 +А\\к8уРп< --АИ]-у -ур К88-ур[к8пц, ккр =ац[кур +к{кур^ +упа^к8/] +аиаи8 +аика&н --УРУ°па"^ -Упраиаи^ -урупапд[к р0 — Д п 1/0 Л п I ди А 0
Кцкь = Аq[KV\\р\\L] +уп Ад[кь] +Ац[к А|и|Р] +
I Л 0 Л и , О 0 Л п с?п 0 Л 0 л и еп
+Аи Ац[кр] -Уп(А[ к8Р] -у„ Аи Лq[K9n] . ,0 л 0 л п £и л 0 л 0 л и 5?и , ,0, \\ п л п л 0. ^ л п к и
-у°, Аи Кк8!.] -Аи К Ак8!-] -УУп А[к АМР] -Куп Ац[к АМР]3. Рассмотрим пространство проективной связности Рп,8, п-мерной базой которого является точечное проективное пространство Рп, а слоями (8-мерные центропроективные пространства) - плоскости П8(б=ш-г) соответствующих Б-мерных линейных элементов распределения с ТН.
Определим проективную связность у пространства Рп,8 при помощи системы форм {вв}:
в = 0 -у^к, (13)
удовлетворяющих структурным уравнениям [3], [4]
Ю0 = 0 Л07 +0 Л0 ,
юв& =в- л в& +0к лДу-, 1 1 к 0 & 1
АУ)к = у - У&]У] + У]к®1 - У]каКК + У&]к< + +л I® +л Рк®р -уКу]к®К. Кк = 5, лрк =зр, л"ок = 5.
Для того, чтобы формы в& (13) определяли проективную
связность в слоях (плоскостях П распределения И8) пространства проективной связности Р^ необходимо и достаточно, чтобы было
задано поле объекта связности { у&^к [2-4], т. е. чтобы выполнялись
дифференциальные уравнения
А] =У]кА. (15)
Тогда структурные уравнения для слоевых форм в- (13) пространства Р^ имеют вид
ГЮ1 = вк лвр + г! юк лак, (16)
] ] к ]КК о о & v &
г~]кк = у] [ кк]
• тензор кручения-кривизны проективной связности пространства Р^.
Предположим, что распределение И оснащено в смысле Э. Картана [10] внутренним образом полем плоскостей Сп_х_х{у&п)(Аа) [8]. Оснащающая плоскость х(у&п )(А0) натянута на точки [8, § 5]:
С = А к + О, Ср = А р + Кр Ао , С (У) = (ФР + уК КОа + УРЬР )Ар + у°пАа + Ап
фр =-^У&.-Лпу&у]); V фр = К як - К яр + у&яр +я° = 0.
Тп V п& ] п п 5Тп к п р п п & п
КР = - V . -Л& у&), VI0 +яр = 0, КР = - - Л&V Кр +яр = 0.
р V рг рг п р р > к к& > 5 к к
Построим проективную связность у, внутренне определенную самим распределением ТН, т. е. построим охват объекта проективной
связности у = (у&к } фундаментальными объектами распределения ТН.
Дифференциальные уравнения (15) представим в виде:
vr:ст=Ск^о > (18)
Уу& ! ОП -г:х -г х -г&0аа>°а +4=
уу:п О (7 , И О , О ~0 К . -ГоУ„ +Уо,,(0„ +®„ =Го„као ■
V + г>; - г>; +л>; = Vr;¡+Г>Г - - = у&,^; (20)
УуОУУО^: - - ++ л>: +л>; +л>0° =
Vу° + у°о)°- у° о)а -у°о?° + у1& т° +Ка 03° +АР сз° +Л" сз° = у° 1 }п & ]п о & ]<у п & оп ^ & /г ]п а р т п & ]пК
Охват компонент объекта проективной связности у = (у&к} можно осуществить с помощью функций:
у&к = у&Л, у°ок = Ф8К + ь°а 8ак + пр8р,
УК = ФО Ык + Ц,\\ак + ь°р Л рк, (22)
У&к =Л "]Ку&п ,
которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям (18) - (21).
Таким образом, слоевые формы 6у пространства проективной
связности Рп,в, внутренне определенного распределением Н с ТН, имеют вид
^ СибАК
т\\пу.яЬас.т{о
в: = < - ффжк + ь: 51 + вд к
в =< -<5п®
К 1 ^р^К
п~К в =а\\-Л
п лл к 3 --зкУп®о >
в] = - (ф: лпзк + ь: л 3к + ь:р л рк
Нами доказано, что проективная связностьу, определенная формами (23), получена проектированием при помощи оснащающей по Э. Картану [10] плоскости Сп_3_х{у&п) (А) (17).
Компоненты тензора кручения-кривизны ГуК1 пространства
проективной связности Р^ в структурных уравнениях (16) имеют следующие строения [4]:
о 10. .Ь а п <?п I то „ .Ь а А с:
ГоК! = Ф]Уь Лп[к5Ь] + 4Уп Лак5Ц -1°аК[к5ц -Ф0К[5 -к5ь] -Ф:к5Ц&
гПкь = у&УЛ+^55] +Ф5:л ] +
+Ь0л5[Ак5Ь] -Л&л[к5ь] -КЛ\\к51\\ ~у&пк5!],
Г =Лплту&п +Л°ЛкУПп1Ц +Ф:Лплк5[] + Ь0АЛАЛА] +ЛАЛкЛАь] -УФ: Лп/1к5:] -упьлЛ^П] -У&ПУь Лзк Лт,
г°кь =ЛлкфП|ь] +ф: лз[кь] + 1"лл зкь] +
+л А кцлт -ф:ф: л35 -фж л\\5 -ф1ь\\лпл 5 - ь\\ь°в лв5 -фуь лплк л ь | ^ - ь0ауЬ лплк лА | 1Г
Проективную связность 9 пространства Ри,и-т-1 можно определить при помощи форм 3д :
з;=Ф;-З;кФко , (24)
удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]
<3р=3„лщ+а>к лдщк,
+ К-рА + Крк< + АРк<-ЩгЩкА >
Кк =81, Кк = 8, Кк =8. Геометрический объект 3^к назовем [4] объектом проективной
связности пространства Рп,п-ш-1. Для того чтобы формы 3^ определяли
проективную связность 3 пространства Рп,п-ш-1, необходимо и достаточно [2-4], чтобы было задано поле объекта связности 3^к, т.е. чтобы выполнялись дифференциальные уравнения
рк ркь о
или, что то же,
дР =иаъА (25)
® Щ = 31лз;+ 1А лА,
• компоненты тензора кручения-кривизны пространства Рп,п-ш-1. Построим охват объекта проективной связности 3 фундаментальными объектами распределения ТН.
Систему дифференциальных уравнений (44), которым должны удовлетворять функции 3^к представим в следующем виде:
У3а У3а оп -КЛ -к<-к< +< = К*"*-& (26)
оа (27)
У3Р __— Ж ____
V3Р у 3Жа (28)
vзрn +- 31< - « + л&;х = з;пК^
чзр, + 3Ж< -V* +л>;+л>; +к„< -чзр„ +3РаР -3\\ю° +3\\т° +Аа.со° =3°и,сок. оЪ а аЪ у аЪ а аЪК о >
VЗРп + 3>Р -3Р ю7-3Р ю" +3у ю" + Ла ю" +Лп ю" = р" п рп р рп у рп а р п п
Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения (26-29) удовлетворяются, если в качестве компонент объекта проективной связности 3 = {3р} взять следующие функции:
< =--—К -КкУп), -м°Хп +К< + < = 0,
п — т — 1
мр =--—(К-Кшкп ), У5мр + = 0,
п — т — 1
К =--—ЛКа-Кпра К), У5М; + яр = 0.
п - т -1
Замечание. Формулы (30) определяют охват объекта проективной связности фундаментальным объектом распределения ТН не ниже второго порядка. Этот порядок зависит от порядка квазитензоров крК,К, участвующих в охватах (30), так как остальные функции имеют порядок не ниже второго. Аналогичные утверждения имеют место и при построении охвата (22) объекта проективной связности
у = Щк } пространства. Построение квазитензоров кр к&п, К различных порядков приведено в работе [8].
Итак, слоевые формы 3р пространства проективной связности
Рп,п-т-1, внутренне определенного на распределении №п_т_, имеют следующий вид:
Нами показано (следуя работе [4]), что проективная связность 3 определяется путем проектирования при помощи внутренне определенной (оснащающей по Картану) плоскости
К =Ар-МрАО& % = А,. -М,Ао, # =(ш° +у&м° +урм°)А + гстА +А ,
^>1 п I п р& о пи
Построим охваты компонент тензора кручения-кривизны пространства проективной связности Рп,п-ш-1 [4]:
=куЛ^ + му:кг18 --М18 - мо ля-к л:П8 -К8
<къ = у>гл;[к8"ь] + м°а8[к8;] -у; к^-у;м°а88-лаа8 АА Ккь =лпаАт+у лрщ+к лрк8ац + ма лр 8 +лр[к л,аи --у>1 ЛП8 -у;мо ЛР8 -ууякт л^, <кь =л: к +к л: [кь] + м°а л а {т + +л а [кмаь] -КК л: 8 - мко ка 18 -мак л: [ 8 - мм Ка 8 -КУЯЛ: 1 к Кя , ь] - му ял: [ к л; , ь]. 5. Рассмотрим теперь систему из (п+1)2 форм Пфаффа А :
^ СибАК
т\\пу.яЬас.т{о
—р р о к —п п
ю = ю - ю , ю = ю ,
р " к " > "
юр = юр +лр лрюр +лр ЛГю" +ЛР"Л"пю:, юр =ю" +лЩ л р юр +лп л ; юп,
~ р — ^р I аЖ п п —р_ „р
= ю„ +лр лппю„ ,
=-л аюр, юж=-лжрю:,
юр =-л >р,
юп =юп - бю , юр = л 1юр, юр = -л; л^^;, ю = -лпрюр, ар =-лпр л прюр, < =л пю, а/ = ю^ +л?л-ркюк -5р>БкЮр, ю =юр +лп лпю -5%юрк,
юр=-ла л р"ю",
=-л; л пжю а,
юр =лп юр, Ю =-ллр юр,
р рр п > р п рр а >
= -лилп юр, юп = -лр юр,
р п рр " > р рр р >
юп =-л X,
п ур,к р &
Заметим, что формы юЁ (32) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера { г7 }:
Т =ЮкТк,
Т = р[Ар; А р; А,.; Ар ], т = р[Ап;А р;А,; А ]
Тр = рЕ лпр [ Ао А,.. .А"Ап А"+, ...Аг; А,; А р ], т, =рЕл а [Ао; А р; Аг+,,..., А ,А,+,...Ат; А р ], Тр=рЕл"рр [Ао; А р; А,; А
т+1 >"
Ар-1 Ап АЖ+1.. .Ап-1 ]
йер йер йер
л = ай!! л" ||* 0; Ь = лп ||* 0; Е = л" ||* 0;
Юр=юр
р к р
Р = ^ =
++/Я& 1
П + 1
я = ¿в/\\\\8рр\\\\= л*
АП р" АП А рр
(Кк + Ьк + Вк), УЯК + Бка°0 +8°кФ1 -А^ = 0.
В работе [8], доказано, что регулярное (Бф0) трехсоставное распределение ТН с р во второй дифференциальной окрестности его
образующего элемента индуцирует проективное пространство р, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инвалютивного преобразования Р форм ю3к по закону (32).
Дифференциальные уравнения геометрического образа с р , двойственного данному распределению ТН с р, имеют вид
~Г-П _ п —й ~
—П_\\П —к
Юр = А рКЮ0 >
а —К
юр = А аркю
ю =КкЮК
= а кюк
=Аара0 , юр = А рк юк
а ак о
юр =Аркюк
? =АРкЮк
Известно [8], что каждая система величин
у;=-Ар"у;,
У0 =А"иУкп,
у0 =АП у",
р "р П 5
; а = -А аРу0
П АП ур ,
У = -Аку°,
п п к&
У а Ара у п
образует квазитензор, двойственный соответствующему квазитензору, относительно преобразования Р (32).
Следуя работе [9], укажем способ построения двойственных проективных связностей относительно инволютивного преобразования Р (32). Строим, например, охват объекта проективной связности
Грщ = Прщ двойственного образа ТН с р , аналогичный охвату объекта Грх (для величин Грх входящие в них формы и функции
пишутся с черточкой сверху). После чего по закону Р (32), учитывая при этом формулы (33), (34), находим охват объекта проективной связности Прк - двойственного образа объекта Грх .
Системы форм {¥р},{$/ },{3р}, построенные по законам
соответственно вида (12), (23), (31) (в этом случае, входящие в них формы и функции пишутся с черточкой сверху), удовлетворяют (каждая) структурным уравнениям Картана-Лаптева и определяют соответственно пространства Рпг;Рпс линейной связностью проективного типа, двойственные соответствующим пространствам Р ■ Р ■ Р
п,г> п,1 & п,п-т-1 *
Список литературы:
Hгт ранга г многомерного проективного пространства. Калининград, 1975
Сб. «Дифференциальная геометрия многообразий фигур»; Вып.6. Калининград, гос.ун-т, С. 102-142.
пространства. Калининградский ун-т, Калининград, 1982, 126 с. Библиогр. 20 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 16 декабря 1982 г., № 6192-82Деп.).
