Спросить
Войти
MS С 39А70
МАТРИЦЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ИССЛЕДОВАНИИ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
А.Ю. Дуплищева
Воронежский Государственный Университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: dup_ayu@mail.ru
Аннотация. Вводится понятие состояний .линейных операторов. Получена теорема об эквивалентности состояний разноетноі&о оператора и матричноі&о оператора епециальноі&о типа.
обратимым, если его ядро KerA = {x £ X : Ax = 0} нулевое и образ ImA = {Ax, x £ X} оператора A совпадает со всем пространством X. Далее, символом J обозначим одно из множеств или Jc, оде Jd £ {Z, Z+} и Jc £ {R, R+} соответственно, причем Z+ = NU{0} и R+ = [0, го). Символ ом lp = lp(1d, X), оде p £ [1, го), обозначим банахово пространство
со степенью p для p £ [1, го) и ограниченных при p = го, с нормой
x(k)||p J , x £ lp, p £ [1, го), ||x||0 = sup ||x(k)11, x £ l0.
Символом c0 = co(1d, X) обозначим замкнутое подпространство последовательностей x £ l0 со свойств ом lim ||x(k)|| = 0.
Далее, символом Cb,u = Cb,u(1c, X) обозначим банахово пространство непрерывных и ограниченных функций, определенных на 1С, со значениями в X и норм о й ||x|| = sup ||x(t)||, символ ом С0 = C0(Jc,X) — замкнутое подпространство функций x £ Cb,u со
свойством lim ||x(t)|| = 0 (исчезающих на бесконечности).
Наконец, договоримся обозначать сиволом F(1, X) любое из введенных в рассмотрение банаховых пространств (используется запись F £ {lp, 1О, co, Cb,u, С0}).
Кроме того, в пространстве F(J, X) рассмотрим изометрический оператор сдвига вида:
(Sx)(t) = x(t + 1), t £ 1, x £ F(J, X), S £ EndF(1, X).
Замечание 1. Пространство F(1, X) инвариантно относительно сдвига.
Теорема 1. Функция х € ^(1,Х) является решением уравнения (1) тогда, и только тогда, когда у € ^(1,Х х X), построенный по правилу (2), является решением уравнения (3).
Запишем уравнение (1) в операторной форме:
Фх = /,
где оператор Ф € ЕпсЩ!, X) определяется формулой:
Ф = 52 + В^ + В2,
Точпо также запишем в операторной форме уравнение (3):
Ох = /.
где оператор О € Еп(1(1, Епс!Х х X) определяется в виде:
О = § + В .
х(Ь + 2) + В1(^)х(^ + 1) + В2(Ь)х(Ь) = /(Ь), Ь € 1, х, / € #(1, X)
Вг € /те(1, EndX), г = 1, 2, если 1 = 1 , Вг € Сь(1, EndX), г = 1, 2, есл и 1 = 1С .
Путем замены
х1(Ь) = х(Ь), х2 (Ь) = х(Ь + 1).
разностное уравнение вида (1) сводится к уравнению вида:
у(Ь + 1) + В(Ь)у(Ь) = /(Ь), Ь € 1, х, / € #(1, X х X) ,
где функция
В € /те(1, End(X х X)), есл и 1 = 1^, В € Сь(1, End(X х X)), есл и 1 = 1С,
имеет вид:
Отметим, что операторная матрица S имеет вид:
Возникает естественным образом вопрос: насколько операторы D и D обладают одинаковыми свойствами в вопросах строения ядра, образа и свойств обратимости.
В дальнейшем используется следующее важное нопятие (см. также |1|, |2|),
A £ EndX A = 0 A
x€D(A)\\KerA dist(x, KerA) где dist(x, KerA) = inf ||x — от вектора x до подпространства KerA.
xo€KerA
AX (codimlmA = то);
AX A = X A A
Если для оператора A выполнены все условия из совокупно сти условий S = i1,...,ik, где І = i1 < i2 < • • • < ik < ІІ, то будем говорить, что оператор A находится в состоянии SA
Теорема 2. Множество состояний обратимости операторов D Є End(i, X) и D Є EndF(i, X x X) совпадает, т.е.
Stinv D = StinvD.
Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть А, В2 — операторы и з EndX, По
ним построим оператор вида:
А = А2 + ВіА + В2 . (4)
Наряду с оператором А, рассмотрим оператор, заданный матрицей
т.е. Ах = (Ахі — х2, В2жі + Ах2 + Віж2), где х = (хі; х2) Є X х X.
В дальнейшем, как правило, для задания оператора А будем использовать запись:
х1 \\ = ( А —I \\ / х1 \\ = ( Ах1 — х2 х2 / у В А + Ві у у х^ у В2хі + Ах2 + Віх2
Рассматриваемые операторы А и А принадлежат алгебре операторов вида Ъ и О соответственно. Поэтому, справедлива
А ^тои А&
Дня доказательства теоремы используются следующие вспомогательные утверждения:
Лемма 1. Ядра операторов A и A пзоморфпы, причем изоморфизм осуществляет оператор:
x м (x, Ax) : X м X х X.
Непосредственно из леммы 1 следует
Из следствия 1 немедленно получаем
ствами.
тора A дополняемое, причем проектор на ядр о оператора An A имеет вид
P = P11 + P22A ;
P 0 ч AP 0
соответственно.
Лемма 3. Произвольный элемент z G X принадлежит образу оператора A тогда, и только тогда, когда пара (0, z) G X х X принадлежит образу оператора A.
Лемма 4. Пара (y1;y2) G X х X принадлежит образу оператора A тогда и только тогда, когда вектор y2 + (A + B1)y1 принадлежит образу оператора A.
Выполнение свойства 5 немедленно следует из следующих утверждений:
Лемма 5. Образ оператора А замкнут тогда и только тогда, когда замкнут образ оператора А.
Справедливость свойства 9 немедленно следует из леммы
Р = Р22 + (А + В1)Р12 ,
-(I - Р)(А + £1) Р
соответственно.
SECOND ORDER MATRICES AT THE RESEARCHING OF OPERATOR EQUATIONS
A.Yu. Duplishcheva
Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: dupl_ayu@mail.ru
Abstract. The concept of linear operators states is introduced. The theorem about the state equivalence of the definite difference operator and the matrix operator of special type is obtained.
