Спросить
Войти
УДК 510.2
Му Цзинюй, Т.В. Труфанова АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
В статье проводится решение нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка - уравнения Кортевега - де Фриза. Точное аналитическое решение найдено при помощи использования подстановки Коула - Хопфа. Решение уравнения Кортевега - де Фриза ищем в виде бегущей волны.
ANALYTICAL METHOD OF THE DECISION NONLINEAR WAVE EQUATION
In article the decision of the nonlinear equation in private derivatives of the third order - the equations of Kortevega - de Friza is passed. The exact analytical solution is found by means of use of substitution of Cole - Hopfa. We look for the solution of the equation of Kortevega - de Friza in the form of the running wave.
Нелинейные волновые процессы различной физической природы имеют большое значение для развития науки и техники. При помощи таких уравнений можно описать процессы в гидродинамике, в физике твердого тела, в физике плазмы и т.д. В линейных математических моделях, которые являются приближениями при описании различных процессов, существуют общие аналитические методы решений уравнений в частных производных [1]. Для нелинейных моделей общих методов решения задач в настоящее время не существует. Некоторые нелинейные задачи удается решить точными аналитическими методами при помощи различных замен и преобразований переменных.
Рассмотрим волновое уравнение с учетом дисперсии и нелинейности
ut + uU + = 0 (1)
его называют уравнением Кортевега - де Фриза (КдФ) [2, 4].
Сделаем подстановку Коула - Хопфа:
и = 12£ —In F. (2)
Пересчитаем все производные, входящие в уравнение (1):
du = 12^—д-—InF, du = 12^14F, ^ = 12^14F. dt дх dt дх дх дх дх
Подставляя в (1), получаем:
д3 д2 д3 д5 12« -—- 1п F + 12«—г1п F •12^--г1п F + «42«—1п F = 0.
дх д( дх дх дх
Нетрудно заметить, что это уравнение можно представить в виде, удобном для интегрирования:
д2 1 -1п F
+6«-дх
+«•дх
Интегрируя по х, получаем
+ г = С о),
где С(1;) - произвольная функция.
Предположим сначала, что С(1;) =0 [5].
Пересчитаем все производные, входящие в уравнение (3):
ди д ( 1 дF = дt 1 F дх
д3 1 г д —— 1п Г = —
дх3 дх
Г2 дt дх Г дхдt дх2
дх I Г дх
Г21 дх
Г ~дхГ&
Г21 дх
i1 = (_1)((_2Г 3)-г• (ГI2+а • 2-г• -а1
Г дх2 ^ ^ & дх {дх ) Г2 дх дх2
__^аг З^Т 1 -А
+ 2 ^ 2 + Г сх3
Г2 I дх дх2
дх дх
Г31~дх
=А (А = Г3 ["дх
Г2 дх дх Г дх3
= 2 • ((_3) Т _■
+ З-^_3
Г3 I дх I дх2
дГ дГ д2Г
_2 г---V
( 1 дГ д3Г 1 д4Г 1
-----1--[ Г2 сх сх3 Г сх4 ,
дх дх дх
А (А & Г [1х
дГ дх
дх [ дх 1 д ( дГ д2Г11
Т2 дх
дх дх"
Г [ дх I дх
(д2 г 12
Подставляя найденные производные в (3), получаем уравнение:
—---+--+ 6«
Г2 дt дх Г дхдt
дГ 12 д2Г
сх2 Г2
(д2 г 12 ^
Г V дх I дх
"ах^
Г2 дх дх3 Г сх4
Проделав простейшие преобразования, запишем это уравнение в виде:
д2Г дГ
дхдt дt
--+ 3«
(д2 г 12
. ддг д3г адТ д3г а4г п _ 3«--г _ « —--—г + ^—г = 0.
дх дх3
дх дх3
Для функции F(х, t) получаем уравнение в частных производных четвертого порядка:
Г— дх
— + « 3
дг дх3
а3 г 1
— + « 3
+ 3«
(д2 г 12
дх дх3
Допустим, что
дF п д3 F
— + р—г д, дх3
( д2 F Л
Vдх у
дх дх3
второе уравнение соответствует:
дF д2 F дх
дх2 д2У д3 F
дх2 дх3
Обозначим —(х, t) = у1 (х), где t - параметр.
То есть
Это значит, что у[ и у{ функционально зависимы. Следовательно, у= Су1, где С - функция от 1
Решим это уравнение и получим: у( = (х,,) = Сесх, где С и С не зависят от х.
Интегрируя второй раз, получаем: F ( х,, ) = е^ )х+с2 ^)+ с3 (,).
Допустим, что с3 (,) = 1, с1 (,) = -а, с2 (,) = as + ар,. Подставим в (5), находим:
F = 1 + е
-а(х—)+а3р, _
= 1 + /,
где в = а (х - s) + ар,, / = е в.
Таким образом, функция (6) является решением уравнения (4). Вычисляя производные
— = (-а ) е-а^+ог р& =-а/= а2 / дх У ! дх
-а(х-в)+а2&р, _
и подставляя в (2), находим решение уравнения КдФ:
( л , , Л
и = 12р
F21 дх ) F дх2
V 4 у )
(-(-а/)2 +(1 + / )-а2 / ) = = &Ра
( в Л2 2е 2
(1 + / )
= зра
( в -в Л-е2 + е
=зрасс | —1=зрасс
а( х - s )-а3 Р,
и = АсС
где А = 3ра2, А = 2а, V = а2р. Это решение уравнения (1) называют уединенной волной, или солито-ном [2, 3].
Найдем более сложное решение уравнения КдФ. Рассмотрим взаимодействие двух солитонов. Воспользуемся методом возмущений в теории взаимодействия.
Для этого представим функцию F в виде разложения в ряд:
Г = 1+ У00 еТ^ /—!к=1
по параметру е.
Подставим (8) в (4), получаем:
(1+У1екг(к })(х 1/
д(дг(к) „а3 г(к >11
дt & дх3
_ую ¿—¡к =1
дг(к)
•У00 ек —
дх к=1 дх
д (дг(к) „ а3г(к) 1
+3«
_У1 ек /—!к=1
дг(к)
Ею к д Г е
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е к нулю, получаем систему уравнений:
д(дГ (1) д3 Г (1)1
дГ1 „ д3 Г -+ «-3
дt дх3
д (дг(2) „ д3г(2) 1 - д (дг(1) „ д3г(1) 1 дг(1) (дг(1) „ д3г(1) 1 + г& —
+3«
+ «
((д2 Г (1)12 дГ (1) д3 Г
дх дх3
И Т.Д.
Пусть Г(1) = / + /2, где / = е
= ¿,-"1 (х ) + а3«> Т =
, т = 1,2, т.е. сумма двух экспонент, порождающих солиВычисляем производные, входящие в уравнение (9):
■ = "1 «/1 + "2«/2& ~ = _"\\/\\ _ "2/2 дх
■ = "1/1 + "2 /2
= _"1/1 _"23/2.
Аналогично для уравнения (10):
д_ дх
дг(2) дг
д3 г(2 >1
((д2 Г «У дГ (1 д3 Г
дх дх
Решение уравнения (11) будем искать в виде Г= В/1 /2, где В - некоторая постоянная, которую надо найти.
Дифференцируя, находим:
д3 г(2)
= В ("¡«/1/2 + /1 • "¡«/2) = в ("13 + "2) «/1/2;
д2 Г (2) 2 = _в("1 + "2)/1/2; = в("1 + "2) Л/2;
дх2 д
(дг(2) а3 г(2)1
("1 + "2 )(В ("" «/1/2 + /""31«/г )_ В«("1 + "2 )3 /1/2 ) = 3В"1"2 ("1 + "2 )2 /1/2.
Сравнивая (11) и (12), получаем:
("1 _ "2) ("1 + "2)
Допустим, Г(к] = 0, к > 3, т.е. = 1 + еГч + е2Г2&.
г«^ е2тг(2)
Подставляя У в (4), получаем:
(1 + «+ £2 У(2))-£2 — ^ & дх
(дУ(2) „д3у(2)Л ( дУ(1) , дУ(2)
+ р
- + £
дУ <2> д,
+ р
+3р
( д2 У(1)
- + £
д2у(2)Л2 ( дУ(1) 2 дУ(2)
- + £
( д3 у(1)
- + £
дУ(1) д,
+ р
д3 р дх3
После вычисления коэффициентов заметим, что при е3:
У (1)л. дх
дУ(2) д,
+ р
дУ(2) д,
+ р
+3р
д2У(1) д2У(2) (дУ(1) д3У(2) дУ(2) д3У(1)ЛЛ
ох2 сх2
дх дх3
дх дх3
= (П1 + /2 ) (3Вра1а2 (а1 + а2 )2 /Л ) - (-а1/1 - а2Л ) (-3Вра1а2 (а1 + а2 ) /1/2 ) +
+3р(2 (а^/ + а22П2 )• В (а1 + а2 )2 -(-а/ -а2У2)(-В (а^ + а2 )3)/х/2 )-(-В а + а2) /1/2 )(-а^/1 - а\\/2 ) = 0;
при е :
У (2)_д_ дх
(дУ(2) д3У(2)Л дУ(2)(дУ(2) д3У(2)
■ + р
- + рдх3
+ 3р
((д2У(2) Л2 дУ(2) д3У(2)^
дх дх3
( У (2)^^ дх дх
(-3Ва1а2 (а1 + а2) /х/г) = 0.
Когда k > 5, коэффициенты содержат множители у(3), У(4) и т.д., поэтому все равны 0. Таким
образом, мы доказали, что ряд (8) содержит только функции У(1) и У(2). Следовательно, остаются только уравнения (9) и (10). Поэтому функция
у = 1 + £У(1) + £2У{2), где У(1) = / + /2 = е-а^-*)+а> + е^(-2)+а>, = (а а2)2 //2,
(а1 + а2)
любое число, оно действительно является решением уравнения(4).
Подставляя У в преобразование Коула - Хопфа (2), получаем точное решение уравнения КдФ. Таким образом, в данной статье подробно изложен аналитический метод нахождения решения нелинейного волнового уравнения в виде уединенной волны, а также построено более сложное решение, представляющее взаимодействие двух солитонов.
