Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка

No4(12) 2008

Г. И. Пеникас

Прогнозирование кривой доходности в задачах управления активами и пассивами банка1

Цель работы состоит в поиске оптимальной модели прогнозирования краткосрочной кривой доходности. Рассматриваются индивидуальные, коллективные и комбинированные модели. Показано, что: 1) включение макроэкономических переменных позволяет улучшить качество прогноза; 2) комбинированные прогнозы систематически более точны, когда строятся на основе взвешивания предсказаний индивидуальных моделей с учетом их точности, зафиксированной в предыдущие периоды.

Основной целью управления активами и пассивами банка является формирование такой структуры баланса, которая оптимизировала бы величину процентного риска. Эта величина отражает ожидаемые потери дохода банка вследствие реализации следующих подвидов процентного риска:

• риск параллельного сдвига кривой доходности (возможные убытки от наличия вертикальных разрывов между величиной активов и пассивов с эквивалентной срочностью);

• риск изменения формы кривой доходности (вероятные потери из-за горизонтальных разрывов между величинами чистых позиций, соответствующих разным временным интервалам);

• базисный риск (потери, вызванные текущим соотношением активов и пассивов с фиксированной и плавающей ставками).

Таким образом, для оптимального управления активами и пассивами необходимо решить задачу прогнозирования кривой доходности, отражающей временную структуру процентных ставок.

В то время как большинство работ анализируют долгосрочный участок кривой доходности на основе данных об инструментах с фиксированной доходностью (например, работы [Diebold, Li (2002)], [Benninga, Wiener (1998)] и др.), лишь немногие посвящены исследованию ее краткосрочного отрезка. В частности, в статье [Pages (1999)] рассматривается кривая доходности ставок межбанковского кредитования LIBOR, а в работе [Andrade, Da Fonseca (1997)] моделируются ставки «овернайт» денежного рынка Португалии.

№4(12) 2008

Цель и новизна текущего исследования состоит в поиске оптимальной модели прогнозирования краткосрочного участка кривой доходности, формируемой ставками межбанковского кредитования для денежного рынка России.

Для оценивания и прогнозирования срочной структуры процентных ставок применяют следующие ключевые типы моделей:

• параметрические;

• аффинные структурные (модели безарбитражного ценообразования);

• с макроэкономической информацией.

База исследования параметрических моделей была заложена работой [Nelson, Siegel (1987)]. Авторы предположили, что в кривой доходности можно выделить три компоненты, отвечающие за кратко-, средне- и долгосрочную динамику. Соответственно это коэффициенты ß0, ß1 и ß2 в следующей модели:

! r( m) = ß о + ßi expl——1 + ß 2

m m ... —expl--1. (1)

Здесь r(m) есть функция, которая каждому сроку заимствования m ставит в соответствие уровень процентной ставки r. Необходимо отметить, что моделирование в данном случае включает два этапа: регрессионный и оптимизационный [Nelson, Siegel (1987), с. 478]. Вначале для набора инструментов на каждую дату (авторы работали с 37 месячными срезами котировок бескупонных казначейских векселей США в 1981-1983 годы) строится регрессия для

§ определения коэффициентов ß0, ß1 и ß2 при значениях параметра — изменяющихся в пре-£

делах от 10 до 200 с шагом 10, и значениях 250, 300 и 365. Затем на основании стандартного отклонения прогнозных значений доходности от ее фактических значений выявляется пара-^ метр — наилучшим образом приближающий модель к эмпирическим данным.

Обратимся к табл. 1 (цитируется по [Nelson, Siegel (1987), с. 481]). В первом столбце здесь

| даны порядковые номера месячных срезов. Во втором приведены оптимальные значения т,

которые лучше всего позволяют приблизить модель к эмпирическим данным на основании величины стандартного отклонения, указанного в третьем столбце (в базисных пунктах);

■с в четвертом — показатель среднеквадратического отклонения для наилучшей модели;в пя |

ч ние для упрощенной модели, в которой коэффициент р2 = 0.

том — стандартное отклонение для параметра т = 50; в последнем - стандартное отклоне&2

| Важной особенностью работы Нельсона и Сигеля была направленность не на прогнози-Ц рование срочной структуры процентных ставок в будущем, а на оценку уровня доходности

для облигаций со сроком до погашения, превышающим рассмотренный интервал сроков. Для приложения модели Нельсона-Сигеля к российскому рынку ценных бумаг авторами | статей [Гамбаров и др. (2004), (2006)] был введен ряд корректировок, с учетом которых сей-§ час публикуется кривая доходности рынка ГКО-ОФЗ. Поскольку базовая модель регистриро-<5 вала существенные отклонения при сроках до 4 лет [Гамбаров и др. (2004), с. 31], при приме-с: нении фильтра Калмана были добавлены слагаемые, позволяющие минимизировать внутри-выборочные ошибки при заданном периоде верификации модели.

&— №4(12) 2008

Таблица 1 ^ £

Качество подгонки оцененных моделей £

Номер набора данных т Полная модель Стандартное откло- ^ 2 Стандартное отклонение от лучшего т нение при т — 50 Упрощенная модель Стандартное отклонение от лучшего т

Медиана 50 7,25 95,9 7,82 9,00

№4(12) 2008

Второй активно развивающийся подход к прогнозированию временной структуры процентных ставок — аффинные структурные модели, в которых заложен принцип отсутствия временного арбитража, т. е. доход от вложения средств на длительный срок под долгосрочную ставку должен быть равен доходу от лонгирования краткосрочных вложений:

где ^ и ^ — текущие кратко- и долгосрочные ставки доходности соответственно;

Е(-) — знак ожиданий будущих ставок;

t — срок долгосрочного заимствования (вложения) средств (в данном случае предполагается упрощенный вариант, где этот срок превышает один год иявляется кратным году, тогда как под краткосрочным понимается вложение ровно на один год;в примере капитализация процентов идет только по краткосрочным вложениям, а не по долгосрочным).

Таким образом, из формулы (2) видно, что если участники рынка ожидают снижения краткосрочных ставок в будущем, то текущие долгосрочные ставки должны снизиться, отражая нисходящую форму кривой доходности. | Основополагающими работами по моделированию безарбитражных моделей стали ста-

^ тьи [УаБ1сек (1977)], [Сохе! а!. (1985)], в которых авторы рассматривают динамику процентных §

ставок как стохастическое блуждание около долгосрочного оптимума 0 [Cox et al. (1985), с. 391] следующего вида:

§ dr = k( 0-r)dt + aV7d z, (3)

где г1 — одномерный винеровский процесс, параметр к отвечает за скорость сходимости к долгосрочному оптимуму, а с1 обозначает дифференциал. Как отмечают сами авторы, при положительных 0 и к процесс представляет собой авторегрессионную схему первого поS

<в §

I рядка.

Подход безарбитражного ценообразования был модифицирован (см. например, работы [Duffie, Kan (1996)], [Dai, Singleton (1998)]) в аффинные модели. В них процентные ставки зависят от ряда скрытых факторов, извлекаемых из данных о кривой доходности в разные момен-| ты времени. Для соблюдения принципа отсутствия арбитража на скрытые факторы налагаются жесткие ограничения.

Третий интересный подход к моделированию процентных ставок — модели с макро-| экономической информацией. Одним из стилизованных фактов о кривой доходности яв-! ляется то, что процентные ставки зависят от текущего и ожидаемого уровней инфляции, ч объемов доступной ликвидности, а также альтернативных источников вложения средств. Так, авторы [Monch (2006)], [Pooteretal. (2007)], [Dai, Philippon (2004)] показывают, что вклю¡1 чение макроэкономических переменных в модели оценки кривой доходности существенно

повышает точность прогноза. Рассматривая ставки доходности на зарубежных рынках как альтернативу размещения средств, другие исследователи [МоСидпо, №ко!аои (2007)] также а делают вывод, что модель с включением зарубежных кривых доходностей показывает луч-§ ший результат, нежели сугубо внутристрановая модель. Эконометрическим решением для ¡5 включения значительного массива макроэкономической информации является примене-с: ние метода главных компонент, позволяющего выделить наиболее существенную вариацию

отобранных переменных.

&— №4(12) 2008

Важно подчеркнуть, что при включении макропеременных можно получить более каче- ig ственную структурную, но не прогнозную модель. Дело в том, что для построения послед- | ней необходимо иметь прогноз всех макропеременных, однако это требование на порядок с: увеличивает разброс получаемых ожидаемых значений процентных ставок, что снижает ^ точность моделирования.

Для цели данного исследования были взяты дневные ставки MosPrime Rate на сроки заимствований «овернайт»(ON), 1и2недели, 1, 2, Зибмесяцев. В период наблюдений(с15янва-ря 2007 года по 17 июля 2008 года) начали фиксироваться ставки на все обозначенные сроки (до этого ставки на срок «овернайт», 1 и 2 недели не фиксировались, а ставку на 6 месяцев начали публиковать только с 1 сентября 2006 года)2. Таким образом, выбранный интервал включал 380 наблюдений.

Ставка MosPrime Rate рассчитывается на основе объявляемых десятью банками3 депозитных ставок от даты «завтра».

Динамика среднемесячных скользящих средних значений ставок MosPrime представлена на рис. 1, причем по оси времени можно наблюдать динамику ставок на конкретный срок (а), тогда как продольный срез на каждую дату (б) отражает кривую доходности на этот момент.

На рис. 2 приводится срез по ставке заимствования на один день (срок «овернайт» — ON), а на рис. 3 — срез на конкретную дату (кривая доходности).

Описательные статистики временных рядов ставок MosPrime (табл. 2) и данные табл. 3 (корреляции) подтверждают стилизованные факты о кривой доходности:

Какуже отмечалось, процентные ставки являются индикаторами, тесно интегрированными в экономическую систему. В силу этого обстоятельства ниже анализируются ключевые макроэкономические переменные, которые целесообразно учитывать при прогнозировании кривой доходности.

Как видно из графика, приведенного на рис. 4, величина ставки «овернайт», как правило, движется в противофазе объемам размещения средств банков на депозитах и корсчете Центрального банка (ЦБ). Проблема заключается в том, что ограничен набор инвестиционных

№4(12) 2008

! <в а

Рис. 1. Динамика ставки МозРпте при различных сроках займа (по горизонтали — дата, на которую фиксировались усредненные за 30 дней ставки)

№4(12) 2008

в-07 апр-07 июн-07 авг-07 окт-07 дек-07 фев-08 апр-08 июн-08 ОМ (30-дневное среднее) ОМ (дневное значение)

Рис. 2. Динамика ставки Мо$Рг1те «овернайт»

Срок заимствований, дней

■на декабрь 2007 года на октябрь 2008 года

на июль 2008 года

Рис. 3. Кривая доходности денежного рынка на даты (по среднемесячным значениям Мо$Рг1те)

Таблица 2

Описательные статистики временных рядов ставок заимствований МоБРпте

Овернайт 1 неделя 2 недели 1 месяц 2 месяца 3 месяца 6 месяцев

Среднее 4,39 4,87 5,15 5,54 5,88 6,10 6,35

Стандартное отклонение 1,45 1,25 1,16 1,03 0,94 0,91 0,79

Минимум 2,17 3,16 3,50 3,97 4,33 4,68 5,11

Максимум 9,55 8,46 8,19 7,93 7,83 7,64 7,63

Эксцесс 0,62 -0,26 -0,65 -0,95 -1,17 -1,31 -1,38

Асимметрия 1,05 0,82 0,64 0,35 0,10 0,00 -0,12

Количество наблюдений* 375 371 366 380 380 380 380

^^ие-Вега 73,58 41,97 31,35 22,37 22,32 27,05 30,96

АСР (1) 0,896 0,954 0,955 0,992 0,995 0,996 0,997

АСР (6) 0,575 0,720 0,793 0,903 0,936 0,952 0,966

АСР (24) 0,355 0,472 0,469 0,525 0,625 0,670 0,750

Пропущенные наблюдения были линейно интерполированы по двум ближайшим значениям.

№4(12) 2008

Матрица корреляций ставок заимствований МоБРмте

Таблица 3

Срок Овернайт 1 неделя 2 недели 1 месяц 2 месяца 3 месяца 6 месяцев

Овернайт 1,000000 0,933175 0,877847 0,754412 0,647640 0,559861 0,427802

гс гс

! ГС а

альтернатив со сроками, на которые банк имеет возможность разместить временно свободные средства. Банк обязан минимизировать риск ликвидности, т. е. обеспечить «подушку ликвидности» — запас средств, необходимых для удовлетворения внеплановых требований по своим обязательствам перед кредиторами. Указанные средства не могут быть направлены банками ни на финансирование долгосрочных проектов, ни на приобретение ликвидных, но высоковолатильных ценных бумаг (например, ОФЗ). Это положение особенно актуально в условиях выхода облигационного рынка на новые уровни доходности летом 2008 года, поскольку возможна существенная отрицательная переоценка ценных бумаг, которая повлечет за собой убыток в ежемесячной отчетности.

Таким образом, мы наблюдаем ситуацию спроса на ликвидность, когда низким ставкам МоБРпте соответствуют большие объемы средств банков на корсчетах и депозитах ЦБ (см. рис. 5). Соответственно, кризисные периоды нехватки денежных средств характеризуются высокой ставкой и малыми объемами избыточной ликвидности, как это было осенью 2007 года (всплески на графике (рис. 4) с сентября по декабрь 2007 года) как реакция на кризис рынка ипотечных кредитов США.

янв-07 апр-07 июль-07 окт-07 янв-08 апр-08 июль-08 Депозиты в ЦБ ■ Средства на корсчете ЦБ — Ставка МоэРпте (1Д)

Рис. 4. Взаимосвязь ставки МозРпте и банковской ликвидности

о -I-1-1-1

Средства на корсчете и депозитах ЦБ, млрд руб.

Рис. 5. Модель спроса на банковскую ликвидность (сплошная линия отражает степенной тренд взаимосвязи двух переменных)

Таким образом, целесообразно включать в модели оценки срочной структуры объемы средств банков на корсчетах и депозитах ЦБ.

Другими важными макроэкономическими детерминантами ставки MosPrime являются индикативные ставки ЦБ, особенно по депозитам и операциям РЕПО. Как видно из графика, приведенного на рис. 6, указанные ставки фактически задают коридор движения MosPrime. С одной стороны, банкам невыгодно кредитовать по ставкам ниже ставки депозита ЦБ, которую они могут заработать, разместив средства на счетах ЦБ. С другой стороны, им также невыгодно привлекать средства от других банков по ставке выше ставки РЕПО, поскольку под нее они могут практически всегда занять у ЦБ под залог ценных бумаг ломбардного списка (кроме кризисных периодов, как осенью 2007 года, когда потребность в ликвидности была чрезмерной).

В силу этого в качестве дополнительных факторов были взяты ставка по депозиту ЦБ на 1 день, а также ставки межбанковского кредитования LIBOR на срок 6 месяцев в долларах США и евро.

янв-07 апр-07 июль-07 окт-07 янв-08 апр-08 июль-08

--Ставка MosPrime (1Д) Ставка депозита в ЦБ (1Д)

-Ставка РЕПО ЦБ (1Д)

Рис. 6. Эволюция ключевых ставок денежного рынка

№4(12) 2008

Учитывая, что Центральный банк регулирует не только ставки по депозитам и операциям РЕПО, но и ликвидность средствами таргетирования бивалютной корзины, для оценки регрессионных моделей кривой доходности также были взяты обменные курсы рубля по отношению к доллару и евро.

Описательные статистики использованных в моделях макроэкономических переменных приведены в табл. 4.

Таблица 4

Описательные статистики макроэкономических данных

Средства Средства Ставка Ставка Ставка Курс Курс

на корсчете в ЦБ, млрд руб. на депозите в ЦБ, млрд руб. по депозиту ЦБ на 1 день, % USD LIBOF на 6 меся цев, % 1 EUR LIBOR на 6 месяцев, % рубля к доллару, руб. рубля к евро, руб.

Среднее 524 365 2,75 4,48 4,50 24,96 35,60

Стандартное 102 315 0,35 1,09 0,35 0,98 0,90

отклонение

Минимум 363 52 2,25 2,37 3,88 23,13 34,26

Максимум 964 1298 3,75 5,60 5,16 26,58 37,26

Эксцесс* 1,64 1,31 -0,04 -1,38 -0,96 -1,30 -1,25

Асимметрия* 1,09 1,45 0,60 -0,67 -0,04 -0,15 0,36

Количество* 380 380 380 367 370 380 380

<в <в

! rc a о

* Измеряется в единицах.

Первая часть исследования включала построение трех классов моделей: авторегрессионных (AR), авторегрессионных с включением макроэкономических переменных (AR-X) и векторных авторегрессионных моделей (VAR). Причем в моделях типа AR и AR-X оценивался GARCH(1,1)-эффект, характерный для финансовых данных.

С одной стороны, тест на наличие единичного корня в рамках процедуры Доладо-Джен-кинсона-Сосвилла-Риверо показал, что ряды процентных ставок MosPrime нестационарны (в частности, ряд «овернайт» является стационарным около тренда (trend stationary), но без значимого тренда;остальные — стационарными в разностях (difference stationary), кроме ряда «1 неделя», по которому гипотеза о наличии единичного корня не подтвердилась). С другой стороны, как отмечено в работе [Pooter et al. (2007), с. 9], нестационарность процентных ставок, что эквивалентно отсутствию долгосрочного равновесного уровня, сложно интерпретировать с экономической точки зрения. Важно помнить, что динамика кривой доходности соответствуеттраектории развития всей экономики.Так, в развитыхэко-номиках процентные ставки достаточно стабильны и реагируют фактически только на изменение ставок рефинансирования ключевых финансовых институтов. Аналогичная логика присутствовала и при использовании макроэкономических переменных. В частности, при включении в модель объемов средств на корсчетах и депозитах ЦБ (эти процессы стационарны около тренда) отправной точкой размышления было то, что объем свободных денежных средств банков не может расти или убывать. Объясняется это тем, что систематическое наличие свободных денежных средств у банка позволяет ему выделить ядро (core), которое

No4(12) 2008

T + h,m M

" T + h, m

Y 1 mspeT

И -=38<У г

РМ5РЕт = - £ I у(;1 ,т1г- г, т - Ут+ „- г I - (б)

V - г = 271 ^ &

где обозначения аналогичны тем, что использовались при расчете среднеквадратической ошибки МБРЕ.

Отметим, что включение макроэкономических переменных действительно повышает прогнозную силу моделей, но незначительно. Значимость макроэкономических факторов приведена в табл. 5.

он уже сможет направить на долгосрочные инвестиционные проекты или выдать в качестве jg длинных кредитов. |

Г) <ъ

В связи с этим регрессионный анализ проводился в уровнях, а не в разностях процентных с ставок и макроэкономических величин методом наименьших квадратов. ^

Вторая часть исследования состояла в построении комбинаций прогнозов на основе данных оцененныхтрех моделей. Было использованодва принципиально разных подхода к обобщению результатов индивидуальных моделей:

• комбинация с равными весами;

• комбинация с весами, пропорциональными точности моделей в прошлые периоды.

Для комбинаций второго типа за основу пропорциональности была взята величина, обратная среднеквадратической ошибке прогноза (Mean Squared Prediction Error — MSPE), т. е. использовался принцип «чем точнее в прошлом был прогноз модели, тем больший вес ей придается в выстраиваемом комбинированном прогнозе».

Соответственно, для каждой модели среднеквадратическая ошибка прогноза рассчитывается по формуле

MSPETlh, m =1YY Сh, m|T-r, m " # h-,) ^ (4)

где Yjihiri|T-rm — прогнозное значение по индивидуальной модели m, построенное на h шагов вперед (рассматривался шаг в 1 день) при прогнозировании в момент T- r;

y?lh-r — фактическое значение процентной ставки в момент T + h - r;

v — количество рассматриваемых периодов. В данной работе было рассмотрено усреднение по предыдущей неделе (5 дней), месяцу (20 дней) и расширяющемуся окну наблюдений.

Часто качество прогноза сравнивают с моделью «наивных ожиданий», когда прогнозное значение равно последнему доступному.

Вес индивидуальной модели m определяется по следующей формуле:

m 1 mspeTI h

,„,(T) _ / T + h,m (5)

Эффективность каждой модели оценивалась по корню из среднеквадратической ошибки (Root Mean Squared Prediction Error— RMSPE) за период, на котором были доступны данные по всем моделям. Это значение было рассчитано по следующей формуле:

№4(12) 2008

Таблица 5

Значимость* макроэкономических индикаторов в регрессионных моделях при различных сроках кредитования

Фактор Овернайт 1 неделя 2 недели 1 месяц 2 месяца 3 месяца 6 месяцев

Средства на корсчете в ЦБ +* +* +* +*

Средства на депозите в ЦБ +* +* +***

Ставка по депозиту ЦБ +* +* +**

на 1 день

Ставка USD LIBOR +* +***

на 6 месяцев

Ставка EUR LIBOR

на 6 месяцев

Курс рубля к доллару +** +* +*

Курс рубля к евро +*** +* +*

<s <в

! <в а о

* Знаком «+» отмечены значимые коэффициенты, причем: * — на 1%-ном; ** — на 5%-ном; *** — на 10%-ном уровне.

Тем не менее интересно, что если для ставок на срок до 1 месяца объем свободной банковской ликвидности (средства на корсчетах и депозитах) и ставка по депозиту ЦБ на 1 день в основном являются статистически значимыми факторами, то для ставок на более длительные сроки это не выполняется. Примечательно, что для более длительных сроков значимыми оказываются такие ранее незначимые факторы, какдинамика курсов валют, причем если в регрессии значимыми оказывались валютные курсы, то, как правило, незначимыми становились ставки кредитования LIBOR (кроме случая ставки MosPrime на 1 месяц).

Также заметим, что ставка межбанковского кредитования за рубежом на срок 6 месяцев значима в динамике ставок только на 1-2 месяца. Вероятным объяснением может быть тот факт, что более длинные иностранные заимствования подкрепляются короткими валютными свопами, что позволяет в дополнение к разнице ставок получать дополнительную прибыль от разницы сроков.

Для ставки MosPrime на 6 месяцев среди использованных факторов значимых выявлено не было.

Следующим этапом стало сопоставление величин ошибок прогноза, которые приведены в табл. 6. Примечательно, что в целом величина ошибки уменьшается с увеличением срока заимствования. Скорее всего это происходит вследствие уменьшения волатильности ставок с ростом срока.

Отметим, что данные табл. 6 подтверждают выводы предыдущих исследователей о том, что включение макроэкономических переменных улучшает качество прогноза.

Сформулируем ключевой результат: комбинация прогнозов дает более точный результат, чем даже лучшая индивидуальная или коллективная модель. Предпочтение при этом необходимо отдать модели комбинации прогноза с весами, пропорциональными их точности в прошлом. Особенно целесообразно брать модель с относительно более коротким окном наблюдений (например, 1 неделя).

&— №4(12) 2008

Таблица 6 ^ £

Корень из среднеквадратической ошибки прогноза оцененных моделей* |

при различных сроках кредитования ^

(процентные пункты) С

Модель Овернайт 1 неделя 2 недели 1 месяц 2 месяца 3 месяца 6 месяцев

Индивидуальные модели

AR 0,5294 0,3232 0,2130 0,0918 0,0589 0,0560 0,0404

AR-X 0,5196 0,3298 0,2173 0,1014 0,0639 0,0580 0,0417

Коллективные модели

VAR 0,5358 0,3248 0,2172 0,0968 0,0578 0,0531 0,0392

Комбинированные модели

EW 0,5113 0,3189 0,2093 0,0925 0,0568 0,0541 0,0390

MSPE_ _5 0,5033 0,3145 0,2049 0,0904 0,0545 0,0528 0,0383

MSPE_ _20 0,5087 0,3172 0,2079 0,0918 0,0555 0,0538 0,0391

MSPE_ _exp 0,5100 0,3180 0,2085 0,0922 0,0559 0,0541 0,0393

* EW — модель комбинации прогноза с равными весами индивидуальных моделей; МБРЕ — модель с весами, обратно пропорциональными среднеквадратической ошибке в предыдущие периоды с окном наблюдений в 5 дней (МБРЕ_5), в 20 дней (МБРЕ_20) и с расширяющимся окном наблюдений (МБРЕ_ехр).

Для управления активами и пассивами банка надо знать ожидаемую кривую доходности, что позволяет давать рекомендации по оптимизации срочной структуры баланса. Целью данного исследования было выявить оптимальную модель прогнозирования краткосрочного участка кривой доходности, формируемого на основе ставок MosPrime. Критерием оптимальности выступал корень из среднеквадратической ошибки.

Первым ключевым выводом стал тот факт, что использование макроэкономической информации увеличивает точность прогноза, и это согласуется с результатами более ранних работ других авторов. Обратим внимание нато, что для более коротких сроков заимствований (до 1 месяца) статистически значимыми детерминантами являются средства на корсчетах и депозитах в ЦБ. Это объясняется тем, что при сроках более 1 месяца банки склонны выбирать иные инвестиционные альтернативы.Также существует положительная связь между ставками MosPrime на 1 месяц и среднесрочными (6 месяцев) ставками LIBOR, что может отражать наличие арбитражных возможностей, реализуемых участниками отечественного рынка с помощью валютных свопов. Для длительных же сроков была выявлена значимая взаимосвязь с обменными курсами.

Вторым важным выводом стало подтверждение преимуществ комбинированных прогнозов, которые систематически дают более точный результат, чем индивидуальные или коллективные модели. Предпочтение следует отдать моделям, увязывающим вес индивидуальных прогнозов с их точностью в прошлом. Ввиду короткой памяти финансовых временных рядов более точные результаты получаются при относительно небольшом окне усреднения (например, 1 неделя).

Проводя подобный эконометрический анализ и прогнозирование временной структуры процентных ставок, важно помнить, что полученные результаты следует интерпретировать

№4(12) 2008

лишь как первичную количественную информацию для принятия решения, которую необходимо дополнить данными об ожидаемом изменении качественных переменных.

Тем не менее прогнозирование кривой доходности является основой для дальнейших исследований, призванных оценить интервал ее критических (максимально и минимально ожидаемых) значений для целей проведения стресс-тестирования процентного риска банка.

Оценка СЛРСИ(1,1)-модели

smpl @all

вводим переменные, соответствующие ставкам на разные сроки series x1=on series x2=w1 series x3=w2 series x4=m1 series x5=m2

>g series x6=m3 <5

VO series x7=m6

вводим тип оцениваемых уравнении

§ %type1="ar" О

%type2 = "arx"

%x_k="x" + "!k"

Й & вводим расширяющееся окно выборки ГС

К for !i = 1 to 130 g

■g smpl 1 249+!i §

& оцениваем уравнение GARCH (1,1)

equation (%x_k}_{%type1}.arch(m=100/c = 1e-5) {%x_k} c ar(1) ma(1)

for !k=1to 7

equation {%x_k}_{%type2}.arch(m=100,c=1e-5) {%x_k} c ar(1) ma(1) ca depo r_depo eurrubusdrub eur6musd6m

& указываем горизонт прогнозирования smpl 250+!i 250+!i

{%x_k}_{%type2}.forecast forecast2

О строим прогнозы среднего

series {%x_k}_{%type1}_f § {%x_k}_{%type1}_f(2 50+!i)=@elem(forecast1,@otod(250+!i))

series {%x_k}_{%type2}_f

{%x_k}_{%type2}_f(2 50+!i)=@elem(forecast2,@otod(250+!i))

& строим график фактических и прогнозных значении

■С smpl 25 0 3 80

ц. plot {%x_k} {%x_k}_{%type1}_f {%x_k}_{%type2}_f

№4(12) 2008

Оценка VAR-модели ig

smpl @all ¡g

вводим переменные, соответствующие ставкам на разные сроки ^

series x1=on ^

series x2=w1 series x3=w2 series x4=m1 series x5=m2 series x6=m3 series x7=m6

%x_k="x"+"!k"

& вводим тип оцениваемых уравнений

%type1="ar"

%type2="arx"

%type3="var"

& вводим расширяющееся окно выборки for !i = 1 to 130 smpl 1 249+!i

& специфицируем векторную авторегрессию (ВАР) с двумя лагами var {%type3}.ls 1 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

& создаем модель одновременных уравнений на основе ВАР {%type3}.makemodel(var_mosprime) assign @prefix s_

& указываем горизонт прогнозирования smpl 250+!i 250+!i

& разрешаем специфицированную модель на выбранном горизонте var_mosprime.solve(d=d)

for !k=1to 7

series {%x_k}_{%type3}_f series {%x_k}_0

{%x_k}_{%type3}_f(25 0+!i)=@elem({%x_k}_0,@otod(2 5 0+!i))

next next

smpl 25 0 3 80 for !k=1to 7

plot {%x_k} {%x_k}_{%type1}_f {%x_k}_{%type2}_f {%x_k}_{%type3}_f next

Расчет среднеквадратической ошибки

smpl @all

%x_k="x"+"!k"

%type1="ar" & %type1="arx" & %type1="var"

№4(12) 2008

& фиксированное окно усреднения %nu="5"

series mspe scalar mspe_cum

for !k=1to 7

mspe=({%x_k}_{%type1}_f-{%x_k})^2 for !i = 1 to 13 0-{%nu}

mspe_cum=@elem(mspe,@otod(2 50+{%nu}+!i)) for !j=1 to {%nu}-1

mspe_cum=mspe_cum+@elem(mspe,@otod(25 0+{%nu}+!i-!j)) next

series mspe_{%x_k}_{%type1}_{%nu}

mspe_{%x_k}_{%type1}_{%nu}(2 5 0+{%nu}+!i)=1/{%nu}*mspe_cum next S next

VO расширяющееся окно усреднения i

series mspe

scalar mspe_cum

t; for !k=1 to 7

§ for !i = 1 to 130

mspe=({%x_k}_{%type1}_f-{%x_k})x

mspe_cum=@elem(mspe,@otod(2 50+!i))

J for !j=1 to !i-1

^ mspe_cum=mspe_cum+@elem(mspe,@otod(25 0+!i-!j)) £

^ series mspe_{%x_k}_{%type1}_exp

mspe_{%x_k}_{%type1}_exp(250+!i)=1/!i*mspe_cum

next next

§ Построение комбинированных прогнозов

од %x_k="x" + "!k"

* for !k=1 to 7 <Ъ

inu="2 0" lnu="exp"

комбинация с равными весами

& взвешенная по среднеквадратической ошибке комбинация series {%x_k}_mspe_{%nu}

{%x_k}_mspe_{%nu} = ( ( 1 / mspe_{%x_k}_ar_{%nu} ) / ( ( 1 / mspe_{%x_k}_ar_{%nu} ) + ( 1 / mspe_{%x_k}_arx_{%nu} ) + ( 1 / mspe_{%x_k}_var_{%nu} ) ) * {%x_k}_ar_f ) + ( ( 1 / mspe_{%x_k}_arx_{%nu} )

№4(12) 2008

/ ( ( 1 / mspe_{%x_k}_ar_{%nu} ) + ( 1 / mspe_{%x_k}_arx_{%nu} ) + ( 1 / mspe_{%x_k}_var_{%nu} ) ) * о

{%x_k}_arx_f ) + ( ( 1 / mspe_{%x_k}_var_{%nu} ) / ( ( 1 / mspe_{%x_k}_ar_{%nu} ) + ( 1 / g

mspe_{%x_k}_arx_{%nu} ) + ( 1 / mspe_{%x_k}_var_{%nu} ) ) * {%x_k}_var_f ) $

Построение матрицы среднеквадратических ошибок для оцененных моделей ^

smpl @all %x_k="x"+"!k" series mspe scalar mspe_cum

matrix (7,7) RMSPE

for !k=1to 7

for !i = 1 to 7

if !i = 1 then

%type="ar_f"

if !i = 2 then

%type="arx_f"

if !i = 3 then

%type="var_f"

if !i = 4 then

%type="ew"

if !i = 5 then

%type="mspe_5"

if !i = 6 then

%type="mspe_2 0"

if !i = 7 then

%type="mspe_exp"

endif endif endif endif endif endif endif

mspe=({%x_k}_{%type}-{%x_k})^2 mspe_cum=@elem(mspe,@otod(271))

for !j = 1 to 109

mspe_cum=mspe_cum+@elem(mspe,@otod(271+!j))

rmspe(!i,!k)=sqr(1/12 9*mspe_cum)

show RMSPE

№4(12) 2008

Ü гс m О

Dependent Variable: XI

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 28,15356 34,96600 0,805170 0,4207

CA -0,003662 0,000602 -6,078756 0,0000

DEPO -0,002224 0,000420 -5,295419 0,0000

R_DEPO 0,734882 0,685186 1,072530 0,2835

EURRUB -0,538130 0,533377 -1,008911 0,3130

USDRUB -0,316188 0,622522 -0,507915 0,6115

EUR6M 0,550673 0,817233 0,673825 0,5004

USD6M 0,331999 0,250910 1,323178 0,1858

AR(1) 0,820822 0,036060 22,76297 0,0000

MA(1) 0,054679 0,078094 0,700175 0,4838

Variance Equation

C 0,052029 0,016368 3,178722 0,0015

RESID(-1)A2 0,227205 0,071846 3,162395 0,0016

GARCH(-l) 0,639201 0,078758 8,116026 0,0000

R-squared 0.838355 Mean dependent var 4.397950

Adjusted R-squared 0.833041 S.D. dependent var 1.444062

S.E. of regression 0.590053 Akaike info criterion 1.730488

Sum squared resid 127.0793 Schwarz criterion 1.865815

Log likelihood -314.0621 F-statistic 157.7532

Durbin-Watson stat 2.004154 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots ,82

Inverted MA Roots -,05

Dependent Variable: X2

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 19.01833 20.69390 0.919030 0.3581

CA -0.000894 0.000258 -3.473517 0.0005

DEPO -0.000442 0.000424 -1.042704 0.2971

R_DEPO 1.039029 0.300953 3.452464 0.0006

EURRUB -0.166700 0.354623 -0.470077 0.6383

USDRUB -0.346955 0.355777 -0.975203 0.3295

EUR6M -0.238243 1.129928 -0.210848 0.8330

USD6M -0.201688 0.291404 -0.692124 0.4889

AR(1) 0.977161 0.017842 54.76706 0.0000

MA(1) 0.257423 0.049729 5.176535 0.0000

Variance Equation

C 0.082776 0.009960 8.310846 0.0000

RESID(-1)A2 0.300365 0.104201 2.882553 0.0039

GARCH(-1) -0.082811 0.102751 -0.805941 0.4203

№4(12) 2008

Продолжение g

R-squared 0.937519 Mean dependent var 4,853717

Adjusted R-squared 0.935464 S.D. dependent var 1,246565

S.E. of regression 0.316675 Akaike info criterion 0,519309

Sum squared resid 36.60338 Schwarz criterion 0,654636

Log likelihood -85.14941 F-statistic 456,3954

Durbin-Watson stat 2.116093 Prob(F-statistic) 0,000000

Inverted AR Roots .98

Inverted MA Roots -.26

Dependent Variable: X3

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 36.70818 15.06586 2.436515 0.0148

CA -0.000645 0.000186 -3.471310 0.0005

DEPO -0.000380 0.000333 -1.141195 0.2538

R_DEPO 0.440844 0.208554 2.113812 0.0345

EURRUB -0.436914 0.266993 -1.636426 0.1018

USDRUB -0.637219 0.251098 -2.537730 0.0112

EUR6M -0.054124 0.847502 -0.063863 0.9491

USD6M -0.081847 0.285787 -0.286391 0.7746

AR(1) 0.980468 0.016573 59.16034 0.0000

MA(1) 0.269569 0.047340 5.694346 0.0000

Variance Equation

C 0.044803 0.004048 11.06889 0.0000

RESID(-1)A2 0.226307 0.079967 2.829999 0.0047

GARCH(-l) -0.080881 0.070759 -1.143042 0.2530

R-squared 0.963779 Mean dependent var 5.115387

Adjusted R-squared 0.962588 S.D. dependent var 1.157812

S.E. of regression 0.223946 Akaike info criterion -0.166361

Sum squared resid 18.30547 Schwarz criterion -0.031034

Log likelihood 44.44227 F-statistic 809.3291

Durbin-Watson stat 2.076533 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .98

Inverted MA Roots -.27

Dependent Variable: X4

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 50.09574 0.107086 467.8077 0.0000

CA -0.000501 0.000140 -3.577613 0.0003

DEPO -0.001539 6.39E-05 -24.08852 0.0000

R_DEPO -0.439871 0.214860 -2.047245 0.0406

Продолжение

! ГС а О

EURRUB -0.319061 0.036118 -8.833743 0.0000

USDRUB -1.373648 0.043315 -31.71323 0.0000

EUR6M -0.036776 0.177141 -0.207609 0.8355

USD6M 0.748987 0.058679 12.76418 0.0000

MA(1) 0.809075 0.033891 23.87264 0.0000

Variance Equation

C 0.003720 0.002047 1.817749 0.0691

RESID(-1)A2 0.458642 0.105379 4.352307 0.0000

GARCH(-1) 0.554639 0.072416 7.659100 0.0000

R-squared 0.865508 Mean dependent var 5.544116

Adjusted R-squared 0.861477 S.D. dependent var 1.031911

S.E. of regression 0.384064 Akaike info criterion 0.308767

Sum squared resid 54.13435 Schwarz criterion 0.433438

Log likelihood -46.51128 F-statistic 214.7079

Durbin-Watson stat 0.347473 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted MA Roots -,81

Dependent Variable: X5

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C -83,08124 2048,641 -0,040554 0,9677

CA 1,30E-05 4,51E-05 0,288876 0,7727

DEPO -0,000102 6,10E-05 -1,679813 0,0930

R_DEPO 0,067018 0,084275 0,795227 0,4265

EURRUB 0,074184 0,052942 1,401237 0,1611

USDRUB -0,069528 0,064980 -1,069992 0,2846

EUR6M 0,103992 0,152714 0,680958 0,4959

USD6M 0,088637 0,048098 1,842839 0,0654

AR(1) 0,999852 0,003906 255,9515 0,0000

MA(1) 0,138102 0,061950 2,229226 0,0258

Variance Equation

C 0.000669 0.000181 3.697623 0.0002

RESID(-1)A2 1.030001 0.112022 9.194611 0.0000

GARCH(-1) 0.380766 0.048590 7.836265 0.0000

R-squared 0.992357 Mean dependent var 5.881614

Adjusted R-squared 0.992105 S.D. dependent var 0.941933

S.E. of regression 0.083693 Akaike info criterion -2.370702

Sum squared resid 2.556644 Schwarz criterion -2.235375

Log likelihood 461.0627 F-statistic 3949.033

Durbin-Watson stat 1.489010 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots 1.00

Inverted MA Roots -.14

ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ________—

&— №4(12) 2008

Продолжение

Dependent Variable: X6

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 11.63231 2.012852 5.779019 0.0000

CA 6.50E-05 4.38E-05 1.483841 0.1379

DEPO -1.07E-05 5.87E-05 -0.181818 0.8557

R_DEPO 0.036506 0.051109 0.714286 0.4751

EURRUB -0.099947 0.035873 -2.786153 0.0053

USDRUB -0.133099 0.047028 -2.830230 0.0047

EUR6M -0.074772 0.177973 -0.420132 0.6744

USD6M 0.020999 0.032954 0.637229 0.5240

AR(1) 0.008143 0.004397 1.852232 0.0640

AR(2) 0.981006 0.004395 223.1898 0.0000

MA(1) 1.302282 0.059648 21.83272 0.0000

MA(2) 0.304025 0.059780 5.085701 0.0000

Variance Equation

C 0.000204 6.18E-05 3.296344 0.0010

RESID(-1)A2 0.594881 0.079481 7.484520 0.0000

GARCH(-l) 0.577107 0.041520 13.89946 0.0000

R-squared 0.994504 Mean dependent var 6.100690

Adjusted R-squared 0.994292 S.D. dependent var 0.911098

S.E. of regression 0.068837 Akaike info criterion -2.900844

Sum squared resid 1.715369 Schwarz criterion -2.744389

Log likelihood 561.8092 F-statistic 4678.940

Durbin-Watson stat 1.933854 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .99 -.99

Inverted MA Roots -.30 -1.00

Dependent Variable: X7

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C -16.46750 323.2515 -0.050943 0.9594

CA -2.79E-05 4.70E-05 -0.593373 0.5529

DEPO -4.03E-05 5.06E-05 -0.797300 0.4253

R_DEPO 0.056029 0.075936 0.737844 0.4606

EURRUB -0.007277 0.041942 -0.173504 0.8623

USDRUB -0.029199 0.047239 -0.618111 0.5365

EUR6M -0.061246 0.135629 -0.451574 0.6516

USD6M -0.031902 0.046502 -0.686037 0.4927

AR(l) 1.913740 0.025275 75.71530 0.0000

AR(2) -0.913744 0.025276 -36.15016 0.0000

MA(1) -0.937425 0.074157 -12.64107 0.0000

MA(2) 0.146129 0.065603 2.227498 0.0259

Продолжение

Variance Equation

C 0.000750 0.000152 4.923996 0.0000

RESID(-1)A2 0.541687 0.071059 7.623014 0.0000

GARCH(-1) 0.278213 0.086598 3.212708 0.0013

R-squared 0.995941 Mean dependent var 6.355305

Adjusted R-squared 0.995784 S.D. dependent var 0.790938

S.E. of regression 0.051358 Akaike info criterion -3.310434

Sum squared resid 0.954833 Schwarz criterion -3.153979

Log likelihood 639.0168 F-statistic 6343.935

Durbin-Watson stat 1.547032 Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots 1.00 .91

Inverted MA Roots .74 .20