Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

В настоящее время главной целью экономической политики РФ является обеспечение экономического роста, который невозможен без совершенствования системы государственного управления, формирования эффективной бюджетной системы. В мировой практике совершенствование государственного управления осуществляется через укрепление финансовых основ местного самоуправления посредством ориентации бюджетной системы на стимулирование ускорения экономического развития муниципальных образований, повышение их заинтересованности в наращивании своего налогового потенциала, сокращение дотационности местных бюджетов, развитие инициативы и ответственности местных властей за проводимую ими бюджетную политику. В настоящее время главная задача бюджетной политики состоит в том, чтобы посредством совершенствования межбюджетных отношений решить основную проблему муниципальных образований — достаточность их собственной доходной базы, соблюдая при этом условие достижения компромисса между интересами бюджетов различных уровней бюджетной системы РФ. В связи с этим проблема создания информационных систем поддержки принятия решений при управлении меж-бюджетным регулирования является актуальной. В решении этой проблемы особое место занимает задача построения экономико-математических моделей для принятия оптимальных решений при распределении средств бюджетного регулирования в структуре <регион>о<муниципальное образование^ исходя из условий достижения компромисса интересов бюджетов этих уровней. В статье предложены экономико-математические модели, формально описывающие принятие решений в стратегической задаче межбюджетного регулирования, заключающейся в определении нормативов отчислений в местные бюджеты от федеральных и региональных налогов и сборов, подлежащих зачислению в региональный бюджет. Разработанные модели включены в состав информационной системы поддержки принятия решений при управлении процессами бюджетного регулирования, системная структура которой приведена в последнем разделе статьи.

Постановка задачи принятия решений при управлении бюджетным регулированием

Объект управления, которым является бюджет муниципального образования с точки зрения его материального содержания, представлен абстрактным математическим объектом «динамическая система» Р. Рассмотрим обобщенные координаты этой системы. Входными управляемыми переменными являются нормативы БТ=(Б^ Б2,..., Бк) отчислений в местные бюджеты от федеральных и региональных налогов и сборов, подлежащих зачислению в региональный бюджет. Компонента Б/ вектора БТ представляет собой величину норматива отчислений в местный бюджет от налога вида /. Доходы X (Г) и расходы Y (Г) бюджета рассматриваются как возмущения, а величина остатков О (Г) бюджетных средств в момент времени Г — как фазовое состояние динамической системы Р. Стратегическая задача управления бюджетным регулированием ставится следующим образом: установить такие величины Б, /=1,2,., к нормативов отчислений от передаваемых при бюджетном

№2 2006

регулировании налогов и сборов, которые приводят к достижению компромисса интересов бюджетов региона и муниципального образования. Для выбора компромиссных решений Б, /=1,2,..., к предложена векторная целевая функция ф=(р, М, ц, Мц), где р — оценка вероятности дефицита бюджета, Мр — оценка математического ожидания дефицита, ц — оценка вероятности профицита бюджета, Мц — оценка математического ожидания профицита. Аналитические выражения компонентов р, Мр, ц, Мц функции ф имеют вид:

Мр =110(0 • /(Г);

/ (Г) =

если Q(t) ф 0;

р=NN х/ (Г);

Яед(БТ,Г) = 1 Б, • Яд(Г);

Мц = -1 Х0(Г) • J(Г);

и(Г) =

если Q(t) ф 0;

ц = тг Ъ ^

где Иді (Г) — величина платежей по налогу вида /, по которому определяется величина норматива Б, отчислений в местный бюджет в момент времени Г (платежи по налогу вида / осуществляются физическими и юридическими лицами муниципального образования), X (Г) — величина поступлений от собственных доходов в бюджет муниципального образования в момент времени Г без учета средств бюджетного регулирования, Y (Г) — величина расходов бюджета муниципального образования в момент времени Г.

Компоненты р, Мр и д, Мд векторной функции ф являются противоречивыми по следующим причинам. Увеличение значений величин Б, /=1,2,., к влечет увеличение поступлений денежных средств в бюджет муниципального образования за счет налоговых доходов и тем самым приводит к убыванию функций р, Мр и возрастанию функций д, Мд. Но при этом снижаются доходы бюджета субъекта РФ. С целью увеличения этих доходов необходимо уменьшить величины Б, /=1,2,., к, но это приводит к возрастанию функций р, Мр, т. е. к возрастанию дефицита в местном бюджете. В связи с этим принятие решений относительно значений компонентов вектора БТ=(Б1, Б2,..., Бк) происходит в конфликтных ситуациях, вызванных противоречивым характером изменения функций р, М и д, Мд. Компромисс между интересами бюджетов регионального и муниципального уровней бюджетной системы РФ при определении величин Б, /&=1,2,..., к определяется как результат решения задачи многокритериальной оптимизации относительно векторной целевой функции ф=(р, Мр, д, Мд). Сущность задачи состоит в нахождении такого решения БТеБТ1 (БТ1 — множество допустимых решений), которое в том или ином смысле минимизирует значение всех компонентов вектора ф.

Поскольку функции р, Мр и д, М не достигают минимума в одной и той же точке, такая постановка является не вполне корректной [1]. Под решением задачи многокритериальной оптимизации понимается такое подмножество из БТ1, при котором значения функций р, Мр и д, М отвечали бы некоторым интуитивным представлениям о «наилучших» значениях этих функций при стремлении их одновременно к минимуму на множестве БТ1. Представления о наилучших решениях формализованы на основе принципа оптимальности по Парето [1]. В качестве решения поставленной задачи многокритериальной оптимизации авторами рассматриваются такие Б/, которые не поддаются улучшению по критериям р, Мр иначе, как за счет ухудшения по критериям

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

д, Мд (т. е. решения, оптимальные по Парето) [1]. Иначе говоря, в качестве решений рассматриваются такие БТ*сБТ1, что для любого БТсБТ1 из того, что д (БТ*)<ц (БТ*) и Мд(БТ*)<Мд (БТ), следует, что р (БТ*)<р (бТ*) и Мр (БТ*)<Мр (БТ):

УБТ е БТ,ЗБТ* с БТ/д(БТ*) <

< д(БТ) л Мд(БТ*) < Мд(БТ) ^ р(БТ*) > р(БТ) л Мр (БТ*) > Мр (БТ).

Следовательно, точку БТ* будем считать эффективной по Парето, если не существует такой точки БТ*еБТ1, что д (БТ*)<д (БТ)лр (БТ*)<р (БТ). Недостатком такого подхода является множественность оптимальных по Парето решений [1]. Этот недостаток преодолевается использованием аппарата теории игр.

Модель принятия решений по бюджетному регулированию

Для принятия решений при распределении налоговых доходов, передаваемых в порядке бюджетного регулирования, автором построен комплекс <Е1,Е2>моделей, где Е1 — модель определения нормативов отчислений от передаваемых при бюджетном регулировании налогов и сборов, удовлетворяющих локальным интересам бюджетов региона и муниципального образования, Е2 — модель распределения налоговых доходов, исходя из условия достижения компромисса интересов бюджетов региона и муниципального образования. Модель Е1 представлена автоматами А1 и А2, функционирующими в случайных средах [2]. Реакция среды описывается векторами:

С(1) =< (р(1), д(1)), (р21), д21) ),...,(р(1) .д™) >; с(2) =< (р(2), д(2)), (р22), д22)),...,(рГ.дГ) >,

компоненты которых принимают значения оценки вероятности выигрыша р1 <}) автомата А <Л в состоянии щ<}) и оценки вероятности проигрыша д! <}) в этом же состоянии. Элементами множества состояний {щ <1) }п/=1 автомата А1 и {щ (2)}п/=1 автомата А2

являются всевозможные наборы щ(1)=<Б/1

(1) б (1> Б (1)> щ (2)= <Б (2) Б (2) Б (2)>

, 0/2 . ^/к >>, У/ ^0/1, 0/2 ^/к

компоненты которых Б^, у=1,2, /=1,2,.., к отражают значения нормативов отчислений от собственных налогов бюджета вышестоящего уровня в бюджет нижестоящего уровня бюджетной системы РФ. Величины Б/!{1&> принимают значения из континуальных множеств (Б// <}) е[0,1]). Для перехода от континуума к конечному множеству осуществляется дискретизация структурных состояний Б(/<}), заключающаяся в разбиении отрезка [0,1] на некоторое конечное число отрезков с координатами концов [а/, а^], [а/, а^п [ау, ау+1]=0, /=1,2,., к,7=1,2,., к при /ф/ и [а,, а/+1]п [а}, а/+1]^0 при /&=/ В качестве Б/1{}) принимаются координаты концов отрезков [а/, а/+1]. Тогда в качестве структурного состояния можно рассматривать некоторый набор <а/1, а/2,., ак>; число таких всевозможных наборов равно числу комбинаций координат отрезков [а(, а/+1] и составляет N=(n+^)/, где п — число отрезков, а к — количество видов регулирующих налогов. Таким образом, рассматриваемый стохастический автомат А^ имеет М=(п+1)& состояний (щ (), щ Ч-. щм<})).

Автором разработана конструкция стохастических автоматов А1 и А2. Каждый из стохастических автоматов А(, /=1,2 имеет N состояний (щ (}), щ2 (}),., щ/})), отражающих всевозможные сочетания наборов значений нормативов отчислений от передаваемых в порядке бюджетного регулирования налогов в бюджет уровня /. В качестве выхода 0}.(/), у=1,2,., N. автомата А1 в состоянии щ (/) рассматривается уровень текущего запаса денежных средств, аккумулируемых в бюджете рассматриваемого уровня. Автомат имеет два значения входной переменной б^О, именуемой «штраф» при б^Г)^ и «нештраф» при би(0=0, и погружен в стационарную случайную среду С и= С </)(p1 (), р2 (),., р1Ч(/)). Если в момент времени г автомат произвел действие 0}{1)(г), то в момент (Г+1) на его вход поступит сигнал би(Г+1)=0 с оцен№2 2006

кой вероятности р^&] и сигнал 5(/)(/+1)=1 с оценкой вероятности ц^= (1- р^). Автомат А1 штрафуется, если величина текущего запаса денежных средств в бюджете примет значение 0/ <0, т. е. если в бюджете возникает дефицит. В автомат А2 поступает на вход сигнал «штраф», если величина текущего запаса денежных средств в бюджете примет значение О >0, т. е. если в бюджете возникает профицит. Автором предложена конструкция автомата с матрицами переходов из состояния в состояние под действием входных сигналов 5=0 (матрица ау(0)) и 5=1 (матрица ау(1), имеющими вид:

і ° ■■■ °

° і ■■■ °

° ° ■■■ і

° і ° ■■■ ° ° °

У ° (1-у) ■■■ ° ° °

° ° ° ■■■ У ° (1-у)

° ° ° ■■■ ° і °

IIа« (°|| =

где у — избирательность тактики автомата при штрафе. Вероятность р-ц перехода автомата из состояния в состояние будет вычисляться следующим образом: р=Я! а ^ (0) + р! а/у(1). Матрица переходных вероятностей ||р.Ц имеет вид:

У-Р2 92 (1-У )Р2 ... 0 0 0

Матрица ||р/у|| является стохастической, т. к. XРц = 1. Система уравнений для определения финальных вероятностей пребывания автомата в определенном состоянии запишется в виде:

Я = Я х

, Я = Л, г2..................Гм

Г = ЯіГ +ур2 г2,

г2 = РіГі + Яггг +УР3Г3,

Гз = (1-У )Р2 Г2 + Яз Гз +УР4 Г4,

Гм-1 (1 У )Р Ы-2ГЫ-2 + Ям-іГм-і + РмГм,

Гм = (і — У )рм-1Гм-і + ЯмГм ■

Выражения для финальных вероятностей г(, /=і,2.N, полученные в результате

решения системы уравнений, имеют вид:

Гі = і+Рі^(і^ +

/=2 Рі У/-1

УР2(і + Рі І

і (і-уУ-2 , Рі (і-у)Л

і /=2 Рі Y/-1

Рі(і-У)

Т 2 Рз(1 + •

/=2 Рі У

Рі(і-у )м-3

Т N-2 Рм-,<1 + Р^^Г

/=2 Р/ У Рм У

Рі(і-у )м-2

У м-1Рм (1 + Рі І

і (і-у)-2 , Рі (і-УГ

Рм У&

В [3] доказано, что автоматы предложенной структуры обладают свойством целесообразности поведения и асимптотической оптимальности. В качестве меры целесообразности и асимптотической оптимальности используется математичеN

ское ожидание выигрыша М = ХГр . Ус/=1

ловиями целесообразности поведения и асимптотической оптимальности являются соответственно:

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

и lim M (у, p) = pmin.

Таким образом, предложенный для моделирования принятия решений автомат устроен целесообразно, т. е. при функционировании он будет чаще выигрывать и реже проигрывать. Если сравнить его средний выигрыш с тем выигрышем, который он получит, выбирая свои действия случайно, в соответствии с финальными вероятностями, то последний оказывается значительно больше. При неограниченном увеличении емкости памяти этот автомат ведет себя не хуже, чем человек, который заранее знает вероятности выигрышей в каждом из состояний: он производит действие, вероятность которого максимальна.

Модель игры стохастических автоматов

Для принятия решений по бюджетному регулированию, приводящих к согласованию интересов бюджетов различных уровней бюджетной системы РФ, предложена модель I коллективного поведения стохастических автоматов A1 и А2 [4]. Функционирование автомата A1 направлено на минимизацию дефицита бюджета, а автомата А2 — на минимизацию профицита. В связи с тем, что взаимодействие автоматов A1 и А должно обеспечить выбор некоторых компромиссных вариантов значений нормативов отчислений в бюджет муниципального образования от федеральных и региональных налогов, подлежащих зачислению в местный бюджет, в качестве инструмента описания этого взаимодействия использован аналитический аппарат теории игр. Игра р автоматов А1 и А состоит из последовательности партий у^у,,...,^. При этом партией у игры р, разыгрываемой в момент времени t, является набор стратегий у= (у,(1), у(2)), k=1,2,..., п, /=1,2,., п, выбранных участвующими в игре автоматами А1 и А2. Если у=(у} — множество партий, то ус(у (1)}i=1nx(y (2)}i=1n. Исходом ^

(t+1) партии у= (yk(1), у(2)) является набор (5k (1)(f+1), (5, (2)(/+1)) значений входов, где (5k (1)(f+1)=1, если автомат At выиграл, и (5k (1)(f+1)=0, если автомат At проиграл. Задание структуры автоматов A1 и А2 и оценок вероятностей р( (5( (1)(f+1), (5((2)(f+1)), /=1,2,., n, различных исходов партий определяет игру этих автоматов. Игра является игрой с нулевой суммой. Вероятность того, что автомат A1 выиграет за счет своей /-й стратегии определяется как v/ï=r/ (1-p/). Величины Vj образуют квадратную матрицу 11 vy II и принимаются в качестве платежей. Решение игры в форме смешанных стратегий R1=(n1, п2,... п2), Я2=(о1, а2,... а2) позволяет определить компромиссные значения нормативов отчислений в местные бюджеты от передаваемых в порядке бюджетного регулирования налогов и сборов, приводящие к равновесию интересов бюджетов регионального и муниципального уровней бюджетной системы РФ. Автором предлагается формальное описание нахождения решения игры автоматов в форме смешанных стратегий, заключающееся в определении оценок вероятностей п1, п2,... п2 и

о1, а2,... а2 применения стратегий соответственно первого и второго игрока. При этом составляются системы неравенств:

п1 • V„ + 0 • п2 +... + 0 • пm > £;

А^1 • Vu + 0• V12 +... + 0• V1n > 1;

Здесь £ — величина выигрыша первого

Л П1 л Пл л П m

игрока, *1 = -^, ^ = -£^,... *m = ~£г .

В силу того, что Хп/ = 1, = - , и £ —

/=1 /=1 £

величина выигрыша первого игрока, то целевой функцией решения задачи линейного программирования, к которой сводится

№2 2006

решение игры в форме смешанных стратегий, является Ам + Ао + ■■■ + Аm min.

Решение А, =

&11 22 задачи линейного программирования позволило определить аналитические выражения для смешанной стратегии первого

игрока, п1 = А1 •£ =

. Эти выражения поз1^/=1

воляют определить набор коэффициентов для компромиссного решения. При этом компромиссные решения для величин Бк нормативов отчислений в местный бюджет от федеральных и региональных налогов вида /, подлежащих зачислению в бюджет

региона, определяются как S1 = IS11 •п

n . n /=1

S2 =I S/2 •П

Si =I S/i •п

Структура информационной системы поддержки принятия решений при управлении процессами бюджетного регулирования

Разработанные экономико-математические модели включены в состав информационной системы поддержки принятия решений. Структура моделей этой системы приведена на рис.1. В состав системы входят модели <11,12> принятия решений при управлении процессами межбюджет-ного регулирования и комплекс экономико-математических моделей <0, ш1, и2, ш3, и4, БТ>, имитирующих процессы изменения величины остатков денежных средств в бюджете муниципального образования при случайном характере изменения доходов и расходов бюджета, где О- модель нахождения законов распределения случайных величин: «собственные доходы бюджета муниципального образования без учета средств бюджетного регулирования», «платежи по передаваемым в порядке бюджетного регулирования налогам и сборам», «расходы бюджета»; ш1, и2, ш3 — модели генерации возможных значений этих случайных величин по заданным законам распределения; и4 — модель формирования остатков денежных средств О (О под действием случайно изменяющихся величин доходов и расходов; БТ= <Б1, Б2,..., Бк> — вектор структурных состояний, компоненты которого Б/, /=1,2,..., к, задают величины нормативов отчислений от передаваемых в порядке бюджетного регулирования налогов и сборов -го вида в бюджет муниципального образования и осуществляют переключение объекта управления в новые структурные состояния. Кроме формирования величины остатков бюджетных средств, модель и4 вычисляет значения компонентов р, Мр, д, д и Мд векторной целевой функции ф=(р, Мр, д, Мд), давая при этом количественную оценку решений, принимаемых при бюджетном регулировании.

Решения, касающиеся определения величин Б/, /=1,2,., к, относятся к классу координирующих решений, принимаемых органами государственной власти субъекта РФ. Они задают режимы функционирования бюджета муниципального образования в течение некоторого периода ТасТ, где Т — временной интервал существования системы.

Модель О представляет собой основанный на применении методов статистической обработки информации алгоритм нахождения законов распределений случайных величин по реальным статистическим данным о доходах и расходах, получаемым ежедневно при исполнении бюджета (законы описываются в виде рядов распределений). Модели ш1, и2, и3 основаны на применении метода статистических испытаний. Эти модели используют в качестве исходных данных построенные моделью О законы распределения, описывающие доходы и расходы бюджета. Модель принятия решений при бюджетном регулировании построена на основе применения теории стохастических автоматов, функциониру/=1

Е. Д. Стрельцова

Математическое обеспечение межбюджетного регулирования в регионе

№2 2006

Рис. 1. Структура моделей информационной системы поддержки принятия решений при управлении межбюджетным регулированием

ющих в случайных средах. Для принятия решений БТ, являющихся компромиссными относительно целевых функций р и q, используется модель игры автоматов А1 и А2. Результаты функционирования модели <0, ш1, и2, ш3, ш4, БТ> рассматриваются как реакции случайной среды, в которую погружены стохастические автоматы А1 и А2.

Разработанная система позволяет на формализованной основе принимать такие решения при распределении налоговых доходов между регионом и муниципальным образованием, которые удовлетворяют условию достижения компромисса интересов бюджетов различных уровней. Это создает базу для осуществления эффективной политики бюджетного регулирования, ориентированной на результат.

Литература

А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: Сов. Энциклопедия, 1988.